发布时间 : 星期日 文章高中数学 第二章过关检测 新人教A版选修23更新完毕开始阅读755f2c880229bd64783e0912a216147917117ee6
第二章过关检测
(时间:45分钟,满分:100分)
一、选择题(每小题6分,共48分)
1.袋中有2个黑球6个红球,从中任取两个,可以作为随机变量的是( ). A.取到的球的个数 B.取到红球的个数 C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率 答案:B
解析:取到球的个数是一个固定的数字,不是随机变量,故A不正确;取到红球的个数是一个随机变量,它的可能取值是0,1,2,故B正确;至少取到一个红球表示取到一个红球,或取到两个红球,表示一个事件,故C不正确;D显然不正确.故选B.
2.(2013福建厦门模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( ).
A. C. 答案:B
解析:由于质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动二次,向上移动三次,故其概率为·. 3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ 7 8 9 0.3 10 B. D.
P x
0.1 y 已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为( ). A.0.2 答案:B
解析:∵E(ξ)=7x+8×0.1+9×0.3+10y=7(0.6-y)+10y+3.5=7.7+3y,
∴7.7+3y=8.9,∴y=0.4.
4.某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分.甲、乙、丙三名考生独立参加测试,他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75,则三人中至少有一人达标的概率为( ).
B.0.4 C.0.6 D.0.8
1
A.0.015 C.0.985 答案:D
B.0.005 D.0.995
解析:三人都不合格的概率为(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.75)=0.005.
∴至少有一人合格的概率为1-0.005=0.995.
5.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则
P(B|A)=( ).
A. C. 答案:A
解析:出现点数互不相同的共有6×5=30种,
出现一个5点共有5×2=10种, ∴P(B|A)=.
6.已知一次考试共有60名同学参加,考生成绩X~N(110,5),据此估计,大约有57人的分数所在的区间为( ). A.(90,100] C.(100,120] 答案:C
解析:∵X~N(110,5),
∴μ=110,σ=5.
2
2
B. D.
B.(95,125] D.(105,115]
=0.95≈P(μ-2σ ∴X∈(100,120]. 7.把10个骰子全部投出,设出现6点的骰子的个数为X,则P(X≤2)=( ). A. B. C. D.以上都不对 答案:D 解析:P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=. 8.已知随机变量X~B(6,0.4),则当η=-2X+1时,D(η)=( ). A.-1.88 C.5.76 答案:C 解析:由已知D(X)=6×0.4×0.6=1.44,则D(η)=4D(X)=4×1.44=5.76. B.-2.88 D.6.76 2 二、填空题(每小题6分,共18分) 9.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为 . 答案:1 解析:区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x=1对称(-1的对称点是3,-3的对称点是5),所以正态分布的数学期望就是1. 10.将一个大正方形平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)= . 答案: 解析:根据几何概型,得P(AB)=,P(B)=,所以P(A|B)=. 11.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记 X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)= . 答案: 解析:由P(X=0)=,所以×(1-p)×(1-p)=,得p=,所以X的分布列如下: X 0 1 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×. 三、解答题(共34分) 2 3 × 12.(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及期望. 解:(1)由题可得,至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8. (2)ξ可能的取值有0,1,2,3, p(ξ=0)=(1-0.8)3=0.008, p(ξ=1)=(1-0.8)20.8=0.096, p(ξ=2)=(1-0.8)10.82=0.384, p(ξ=3)=0.83=0.512. 故ξ的分布列为 3 ξ 0 1 0.096 2 0.384 3 0.512 p ξ的数学期望E(ξ)=3×0.8=2.4. 0.008 13.(12分)(2014大纲全国高考)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率; (2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望. 解:记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2, B表示事件:甲需使用设备, C表示事件:丁需使用设备, D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备. (1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C. P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2, 所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C) =P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C) =0.31. (2)X的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为 P(X=0)=P(·A0·) =P()P(A0)P() =(1-0.6)×0.52×(1-0.4) =0.06, P(X=1)=P(B·A0··A0·C+·A1·) =P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P() =0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4) =0.25, P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06 =0.38, 4 数学期望E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4) =0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2. 14.(12分)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p>q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3 P a b (1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率; (2)求p,q的值; (3)求数学期望E(ξ). 解:事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3. 由题意知P(A1)=,P(A2)=p,P(A3)=q. (1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 1-P(ξ=0)=1-. (2)由题意知 P(ξ=0)=P()=(1-p)(1-q)=, P(ξ=3)=P(A1A2A3)=pq=. 整理得pq=,p+q=1. 由p>q,可得p=,q=. (3)由题意知 a=P(ξ=1)=P(A1 )+P( A2 )+P( A3)=(1-p)(1-q)+p(1-q)+(1-p)q=, b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=. 所以E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=. 5