发布时间 : 星期四 文章选修4-4第一章《简单曲线的极坐标方程》更新完毕开始阅读7576fc5f52d380eb62946d6f
学科教师辅导讲义
讲义编号_ 学员编号： 年 级： 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 授课日期及时段 教学目的 简单曲线的极坐标方程 1、进一步理解极坐标系和极坐标方程。 2、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。 教学内容 一、课前检测 1．极坐标方程4?sin2．圆心为C?3,2?2?5化为直角坐标方程是 ????，半径为3的圆的极坐标方程为 6??3．已知直线的极坐标方程为?sin(???4)?2，则极点到直线的距离是 24、在极坐标系中，点P?2,??11???到直线?sin(??)?1的距离等于____________。 66???4对称的曲线的极坐标方程是________________________。 5、与曲线?cos??1?0关于??参考答案：1．y?5x?2252???；2．??6cos????；3．； 4．3?1；5． ?sin??1?0 426??二、知识梳理 1、极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标 - 1 -
系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角?xOM叫做点M的极角,记为?.有序数对(?,?)叫做点M的极坐标,记作M(?,?). 一般地,不作特殊说明时,我们认为??0,?可取任意实数. 特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, ?)(?∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定??0,0???2?,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(?,?)表示;同时,极坐标(?,?)表示的点也是唯一确定的. 2.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(?,?)(??0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 极坐标(?,?) 点M 直角坐标(x,y) 互化公式 ?x??cos? ?y??sin???2?x2?y2 ytan??(x?0)x在一般情况下,由tan?确定角时,可根据点M所在的象限最小正角. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 - 2 -
圆心在极点,半径为r的圆 ??r(0???2?) 圆心为(r,0),半径为r的圆 ??2rcos?(??2????2) 圆心为(r,?2),半径为r的圆 ?2rsin?(0????) (1)???(??R)或?????(??R) 过极点,倾斜角为?的直线 (2)???(??0)和?????(??0) 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ?cos??a(??2????2) 过点(a,?2),与极轴平行的直线 ?sin??a(0????) 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(?,?),(?,2???),(??,???),(??,????),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程???,点M(中,只有(???????5?,)可以表示为(,?2?)或(,?2?)或(-,)等多种形式,其44444444??,)的极坐标满足方程???. 44三、重难点突破 例1、在极坐标系中，如果A(2,?4),B(2,5?)为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标4 - 3 -
(??0,0???2?)。 思路解析：解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解。 解答：利用坐标转化。 对于点A(2,)有??2,??,?x??cos??2cos?2,y??sin??2sin?2,4444?A(2,2).5?5?5?5?)有??2,??,?x??cos??2cos??2,y?2sin??2.4444?B(?2,?2).对于B(2,设点C的直角坐标为(x,y),由于ABC为等边三角形，故有|BC|?|AC|?|AB|.?(x?2)2?(y?2)2?(x?2)2?(y?2)2?(2?2)2?(2?2)2.22??(x?2)?(y?2)?16即?,22??(x?2)?(y?2)?1622??x?y?22x?22y?12?0?22??x?y?22x?22y?12?0②?①得y??x③????①②代入①化简得x2=16，?x=?6，???x?6?x??6解得?或?,?y??6??y?6??点C的直角坐标为(6,?6)或(-6,6).???6?6?23,tan?? ?67?3???1,???或??.4467?3??点C的极坐标为(23,)或(23,).44?例2、已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，∠AOB=，⊿POQ的面积为8，求PQ中点M的极坐标方程。 3思路解析：（1）建立以O为极点，OP所在直线为极轴的极坐标系；（2）设点M的极坐标，依⊿POQ的面积建立关系式。 解答：建立如图所示极坐标系，设动点M坐标为(?,?)(0????)，P，Q两点坐标分别为(?1,0),(?2,). 33? - 4 -