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1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】
1. 把下列各式因式分解 （1）?ax2m?2?abxm?1?acxm?axm?3
322 （2）a(a?b)?2a(b?a)?2ab(b?a)
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：?ax2m?2?abxm?1?acxm?axm?3??axm(ax2?bx?c?x3)
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，
(a?b)2n?(b?a)2n；(a?b)2n?1??(b?a)2n?1，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a(a?b)?2a(b?a)?2ab(b?a)
322?a(a?b)3?2a2(a?b)2?2ab(a?b) ?a(a?b)[(a?b)?2a(a?b)?2b]2
?a(a?b)(3a2?4ab?b2?2b)\\\\
2. 利用提公因式法简化计算过程
987987987987 ?268??456??521?1368136813681368987 分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
1368987 解：原式??(123?268?456?521)
1368987 ??1368?987
1368 例：计算123?
3. 在多项式恒等变形中的应用
?2x?y?3 例：不解方程组?，求代数式(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)的值。
5x?3y??2? 分析：不要求解方程组，我们可以把2x?y和5x?3y看成整体，它们的值分别是3和?2，观察代数式，发现每一项都含有2x?y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x?y和5x?3y的式子，即可求出结果。
解：(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)?(2x?y)(2x?3y?3x)?(2x?y)(5x?3y) 把2x?y和5x?3y分别为3和?2带入上式，求得代数式的值是?6。
4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数n，3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3n?2?2n?2?3n?2n?3n?2?3n?2n?2?2n
?3n(32?1)?2n(22?1)?10?3?5?2nnnn
?对任意自然数n，10?3和5?2都是10的倍数。
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?3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数
5、中考点拨：
例1。因式分解3x(x?2)?(2?x) 解：3x(x?2)?(2?x)
?3x(x?2)?(x?2)?(x?2)(3x?1)
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。 例2．分解因式：4q(1?p)?2(p?1) 解：4q(1?p)?2(p?1)
3232?4q(1?p)3?2(1?p)2 ?2(1?p)[2q(1?p)?1]
2?2(1?p)2(2q?2pq?1) 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例1. 计算：2000?20012001?2001?20002000 精析与解答：
设2000?a，则2001?a?1
?2000?20012001?2001?20002000
?a[10000(a?1)?(a?1)]?(a?1)(10000a?a)?a(a?1)?10001?a(a?1)?10001?a(a?1)?(10001?10001)?0
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说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有2001?2000?1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例2. 已知：x2?bx?c（b、c为整数）是x4?6x2?25及3x4?4x2?28x?5的公因式，求b、c的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到x2?bx?c是3(x?6x?25)及3x4?4x2?28x?5的因式。因而也是
42?(3x4?4x2?28x?5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解：?x2?bx?c是3(x?6x?25)及3x4?4x2?28x?5的公因式 ?也是多项式3(x?6x?25)?(3x?4x?28x?5)的二次因式 而3(x?6x?25)?(3x?4x?28x?5)?14(x?2x?5) ?b、c为整数
得：x?bx?c?x?2x?5 ?b??2，c?5
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x?28x?70，从而简便求得
22242422424242x2?bx?c。
例3. 设x为整数，试判断10?5x?x(x?2)是质数还是合数，请说明理由。 解：10?5x?x(x?2)
?5(2?x)?x(x?2)?(x?2)(5?x)