发布时间 : 星期一 文章2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第256260题 含解析 精品更新完毕开始阅读761cf0680408763231126edb6f1aff00bfd57000
感知高考刺金256题
已知非零向量a和b互相垂直，则a?b和a?2b的夹角余弦值的最小值是 ． a?b??a?2b???解：cos??a?b?a?2ba?2ba?b22222a?4b2
令a?x,b?y， 则cos??
x?2yx?yx?4y?x2?4xy?4y2x2?5xy?4y2?1?xyx2?5xy?4y2?1?122 ?9322感知高考刺金257题
已知正数a,b满足a?b??1a9b1a9?10，则a?b的取值范围是 ． b解：设a?b?t，则??10?t b9a?19?又因为?a?b?????1?9???16
ab?ab?即t?10?t??16，解得2?t?8 当且仅当a?,b?
123时，a?b?2；当且仅当a?2,b?6时，a?b?8 2感知高考刺金258题
已知实数x,y?0，若x?2y?xy?2，则x?3y的最小值是 ． 解法一：待定系数法
1?y?xy???x??,??0
2???1?y?????1?2?x?2y?xy?x?2y???x????1??x??2??y 2????2??2??1?1????待定系数法，令?1??:?2???1:3，解得??
2??3?2??故x?3y?解法二：
1291，当且仅当x?,y?时取得 777??x?3y??2??x?3?y?x?2y?xy????1?x??3??2?y?xy?2???1??3??2??1??xy 令2???1??3??2??1?0，即??解法三：三角换元
12917时，x?3y?，当且仅当x?,y?时取得 6777设a?x,b?y，原问题转化为a2?ab?2b2?2，求a2?3b2的最小值 令a?rcos?，b?r???sin?，???0,?，r?0，a2?3b2?r2 3?2?212故问题又转化为已知r2cos2??r2sin2??rsin?cos??2，求r2的最小值
3322161???于是2?cos2??sin2??sin?cos???sin?2???
353?6?r32?12????因为???0,?，故2??,3?
r?2??7?2r评注：这里又遇到a2?3b的结构，故可三角换元设a?rcos?，b?sin?，10月1日
3每日征解有相同的处理方法。
??感知高考刺金259题
已知?ABC中，CP?11CA?CB，CP?AB?1，点Q是线22??P段AB上一点，且CQC?1，则CQ的取值范围2是 ． 解：根据CP?11CA?CB，CP?AB?1，可知A,B,C在以22??AB为直径，以AB中点P为圆心的圆上。
又CQCP?1，且CP?1，根据投影的几何意义为点Q在PC的2中垂线上，又点Q在AB上，故点Q就是线段PC的中垂线与线段AB的交点
又CQ?PQ，故问题转化为当点C在以AB为直径的圆上运动时，求PQ的取值范围 显然当Q与B重合时，PQmax?1，C与B接近重合时，PQmin??1?故CQ??,1?
?2?1 2感知高考刺金260题
在正方体ABCD?A'B'C'D'中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP和AC'所成的角为45的点P有 个． 解：如图，将正方体的各个顶点（除B点外）分类，规定当顶点与B的连线与直线AC'所成的角大于等于45?时为一类，小于45?时为一类。
显然AB,B'B,CB与AC'所成角的正切值为2，故大于45?
A'B,DB与AC'所成角的为90，大于45? D'B与AC'所成角的为60，大于45?
C'B与AC'所成角的正切值为2，小于45? 2当点P从B'运动到C'时，角度从大于45?变化到小于45?，一定经过一个点满足45；依此类推，当点P在B'C',CC',D'C'上运动时，都经历过角度从小于45?到大于45?的变化，故满足条件的点共有3个。
点评：本题虽然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点），角度的变化不会发生突变，故在变化的过程中一定存在一个临界点。这种思想在处理选择题时经常用到。
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