发布时间 : 星期一 文章楂樹腑鏁板蹇呬慨鍥涘钩闈㈠悜閲忔暟閲忕Н鐨勫潗鏍囪〃绀恒�佹ā銆佸す瑙掓暀妗?- 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读766317441511cc7931b765ce05087632311274e3
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【教学目标】
（1）要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
（2）掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。 （3）能用所学知识解决有关综合问题。
【教学重点】
平面向量数量积的坐标表示
【教学难点】
平面向量数量积的坐标表示的综合运用
【教学准备】
多媒体、实物投影仪
【教学过程】
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角。
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，
（0≤θ≤π）。并规定0与任何向量的数量积为0. 21世纪教育网 3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积。 4．两个向量的数量积的性质：
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设a．b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|。 特别的a?a = |a|2或|a|?a?a
a?b ；5?|a?b| ≤ |a||b| |a||b|4? cos? =
5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a
数乘结合律：(?a) ?b =?(a?b) = a?(?b) 分配律：(a + b)?c = a?c + b?c 二、讲解新课：
1．平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，试用a和b的坐标表示a?b。
设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么a?x1i?y1j，b?x2i?y2j[来源： 所以a?b?(x1i?y1j)(x2i?y2j)?x1x2i2?x1y2i?j?x2y1i?j?y1y2j2 又i?i?1，j?j?1，i?j?j?i?0，所以a?b?x1x2?y1y2 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即a?b?x1x2?y1y2
2．平面内两点间的距离公式
一、设a?(x,y)，则|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2。
（1）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面内两点间的距离公式)[来源：21
二、向量垂直的判定
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设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b ?x1x2?y1y2?0 三、两向量夹角的余弦（0????）
cos? =
a?b?|a|?|b|x1x2?y1y2x1?y122x2?y222
四、讲解范例：
五、设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a．b间的夹角θ(精确到1o)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明。 例3 已知a = (3， ?1)，b = (1， 2)，求满足x?a = 9与x?b = ?4的向量x。 解：设x = (t， s)，由
?3t?s?9?t?2 ∴x = (2， ?3) ????x?b??4?t?2s??4?s??3x?a?9例4 已知a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１），则a与b的夹角是多少？
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值。 解：由a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１）
有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２2。 记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
a?b2?[来源：21世纪教育网] a?b2又∵0≤θ≤π，∴θ＝
? 4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定。
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求点B和向量AB的坐标。
解：设B点坐标(x， y)，则OB= (x， y)，AB= (x?5， y?2) ∵OB?AB ∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 又∵|OB| = |AB| ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2即：10x + 4y = 29
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?73?x?x??x?y?5x?2y?0??22?12??或?由?
3710x?4y?29??y1???y2??2?2?2273373773∴B点坐标(,?)或(,)；AB=(?,?)或(?,)
22222222例6 在△ABC中，AB=(2， 3)，AC=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值。
解：当A = 90?时，AB?AC= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =?3 2当B = 90?时，AB?BC= 0，BC=AC?AB= (1?2， k?3) = (?1， k?3) ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11 33?13 2当C = 90?时，AC?BC= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =六、课堂练习：
1．若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·b＝（ ） A．23 B．57 C．63 D．83 2．已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不等边三角形 3．已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
3443A．(,)或(,)55553434 B．(,)或(?,?)
55553434 D．(,?)或(?,)
55553443C．(,?)或(?,)55554．a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= 。 5．已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-1)在线段AB的中垂线上，则x= 。 26．已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=BC，b=CA，则a与b的夹角为 。
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