发布时间 : 星期一 文章《新编数学教学论》涂荣豹 - 王光明等更新完毕开始阅读7666d1d42b160b4e767fcfd6
1.数学对象的抽象性：数学与其他科学相比较，最主要也是最基本的特点，就是他所研究的对象是抽象的形式化的思想材料。（12）（如：数、式、方程、函数；点、；线、面、体；群、环、域；欧氏空间、线性空间、拓扑空间……他们是人类思想抽象的产物）
2.数学的对象不仅是抽象的思想材料，而且还是形式化的思想材料。（13） 3.所谓形式化就是这些抽象的思想材料使用数学的特殊符号语言组织起来，当人们面对一系列数学材料时，，看到的仅仅是材料的形式，其所包含的真正内容却是抽象的思想隐藏在形式之中。（13）
2.1.2数学理论的抽象性
1.事物的本质指人在思维中把事物的某一方面的特性与其它特性区分开来加以单独考虑，进而舍弃其他的特性，保留下来的特性就是抽象出来的事物的本质。（13） 2.许多不同科学领域的不同问题，表面看起来是完全不同的，可它们由数学语言表述出来的时候，可以用同一个数学模型来刻划，因为这个数学模型反映了它们的共同性质，即它们的本质。同一个数学概念和理论反映了多种问题的共同本质属性（13） 3.数学反映各种不同领域的许多深刻的联系，从而使数学起到统一和综合各种科学知识的作用。（13）
4.数学通过揭示本质属性实现的统一和综合，使人类获得深刻的洞察力，促进人类对客观世界的理解。（13）
2.1.3数学方法的抽象
1数学思想活动除了对数学对象进行创造以外，还创造解决数学问题的数学方法。.数学方法指就是数学处理自身问题的方法。（13）
2.数学的主要研究方式是思辨。（13）（由于数学的对象是抽象的形式化的思想材料，这就决定了数学研究必然是以思辨的方式进行的，也就是数学活动是人类抽象的思想活动。尽管计算机为今天的数学研究提供了史无前例的技术力量，但是数学科学
的研究工作在很大程度上仍然依靠个人的灵感和创造力，也就是依靠于个人的思维活动。）
3.数学的思想实验表现为内部思维动作的操作过程，其他科学则表现为外部行为动作的操作过程。
4.数学中的弱抽象方法：在数学的思想活动中，有一类方法是在同类的事物中抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属性，舍弃其他的特征，从而形成新的数学概念。这种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为“弱抽象”。
5.弱抽象的特点是，用弱抽象得到的数学对象，一般是概念外延的扩大，而内涵的减少。
6.弱抽象方法是数学思想活动的主要方法之一。弱抽象的本质在于舍弃。（14） 7.一般而言，只有内容结构较为丰富的对象，才能成为弱抽象的原型。
8.数学中的强抽象;数学思想活动中，有一类方法是把新的特征或属性添加到已有的数学结构中，从而形成新的数学概念，这种通过在原有数学结构中添加新的性质来获得新数学概念的抽象过程，称之为“强抽象”。（14）
9.强抽象的特点是，强抽象方法获得的数学对象，一般在概念的外延上缩小了，但内涵或结构更加丰富和具体了。
10.强抽象方法的本质在于“添加”，强抽象是将不同数学概念或结构有机地结合起来。 11.强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法。从思维活动的方法看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是“一般到特殊”的过程。（15）
2.1.4数学抽象的理想化特点
1.数学中的很多概念是理想化抽象的产物。（15）（如平面几何中点、直线、平面以及解析几何的笛卡尔坐标系，是最典型的理想化抽象。）
2.数学的理想化抽象之所以适用于对现实世界的研究，并成为认识现实世界的有力手段，是因为这种对现实对象和过程的理想化，具有扎根于现实世界的合理性和潜在
的可实现性。（15）
3.自然数公理化概念即是建立在这种潜在的可实现基础之上。几何图形的无限分割，也是一种潜在的可实现思想的体现。
2.1.5数学抽象的形式化特点
1.数学抽象性的与众不同之处是数学的抽象具有形式化特点。（15）
2.数学抽象性的形式化主要表现在两个方面：数学语言的形式化、数学概念命题的形式化3.数学语言的形式化：数学思想活动的结果必须要以某种形式记录和表达出来，在这方面，数学采取的是形式化语言，也就是说数学语言是“形式化”的。
4.数学语言的形式化，首先表现为符号化。数学符号是数学抽象物的表现形式，是数学存在的具体化身，是对现实世界数量关系空间形式和结构关系反应的结果。数学符号按一定规则组织起来，就成为数学思想材料的材料的物质载体―――数学语言 5.数学符号代表了特定的数学含义，但是仅仅看他们的表面并不能看出内在的意义，因而是一种形式，或者说它只是所代表实质的形式的外壳，只有懂得它们的意义的人，才能把这个形式与其意义联系起来，才能剥去形式的外壳看见他们的实质。（16） 6.数学概念、命题的形式化：数学语言中有一个共同的句法形式是“如果……那么……”或“若……则……”。即数学的论断都是建立在假设的基础之上，如果假设不成立，那么论断也就不成立了。（16）
7.数学是在以假设为前提的基础上进行自身的科学理论建设的。（16）
8.数学的形式化不等于数学的符号化，数学的符号化是数学形式化的一部分。（16）
他们的差别在于：符号化着眼于各种数学抽象物本身及其关系的形式上的表述。形式化着眼于各种数学抽象物之间本质联系的形式上的表述，目的是把纯粹的数量关系或结构关系以简洁明了的形式加以表述，以便揭示各种抽象物的数学本质和规律。
9.对数学形式化有一个正确的认识，对数学教育而言十分重要。（17）（因为，教师和
学生在教与学的活动中，不仅要掌握数学对象的形式，更要理解数学形式所包含的数学对象的本质属性，透过形式抓住本质。）（辨析题）
2.2数学的确定性特征
1.数学的确定性由数学对象的抽象性决定。（17）（数学抽象保留了事物的共同的本质，只有这些本质的东西才是稳定的、确定的、不变的，事实上数学正是研究在一定数学运动变换下的不变性质。）（辨析题） 2.数学的确定性由数学方法的抽象性决定
数学方法的基本点就是概念的明晰性。（无论是数学家研究数学，还是学习者学习数学，其首要任务就是明白其面临问题所涉及的概念，概念不明确一切数学活动都不能进行下去。）（17）
数学方法的抽象性使得数学结论具有普适性、稳定性。 3.数学的确定性由逻辑方法本身的精确性决定。（18）
在逻辑方法中，一切使用的概念在推理中必须服从规则。
由于逻辑方法具有确定的推理规则，一切概念服从规则，这使得逻辑方法本身具有了确定性。，进而使得经由逻辑方法检验而获得真理性的数学有了确定性的保证。（18）
4.数学的确定性由公理化的结构决定。（18）
将某些概念以及它们之间在关系当做原始的，不加定义的，而所有以后的概念和性质都以精确的定义和逻辑论证的方法，从原始概念导出。这种建立科学学科的过程就是公理化。
数学的公理化本质上反映了数学的内部组织形式，数学公理化发展经历了实质公理系统的第一阶段，形式公理系统的第二阶段，才完成了数学内部组织精确化、完善化的过程。