2011届高三数学一轮复习 三角函数的图象与性质巩固与练习 联系客服

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说明:由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.

命题否定的典型错误及制作

在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容.从课本内容安排上看,显得较容易,但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解,在解决这部分内容涉及的问题时容易出错.下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述.

一、典型错误剖析

错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论

在命题的否定中,有许多是把原命题中的结论加以否定.如命题:2是无理数,其否定是:2不是无理数.但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了.

例1 写出下列命题的否定: ⑴ 对于任意实数x,使x=1; ⑵ 存在一个实数x,使x=1. 错解:它们的否定分别为 ⑴ 对于任意实数x,使x≠1; ⑵ 存在一个实数x,使x≠1.

剖析:对于⑴是全称命题,要否定它只要存在一个实数x,使x≠1即可;对于⑵是存在命题,要否定它必须是对所有实数x,使x≠1.

正解:⑴存在一个实数x,使x≠1; ⑵对于任意实数x,使x≠1.

错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词 在命题的否定中,有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词,如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等.但对于联言命题及选言命题,还要把逻辑联结词“且”与“或”互换.

例2 写出下列命题的否定: ⑴ 线段AB与CD平行且相等; ⑵ 线段AB与CD平行或相等.

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2

2

2

2

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错解:⑴ 线段AB与CD不平行且不相等; ⑵ 线段AB与CD不平行或不相等.

剖析:对于⑴是联言命题,其结论的含义为:“平行且相等”,所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外,还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”;而⑵是选言命题,其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况,故否定就为“不平行且不相等”.

正解:⑴ 线段AB与CD不平行或不相等; ⑵ 线段AB与CD不平行且不相等.

错误3——认为“都不是”是“都是”的否定 例3 写出下列命题的否定: ⑴ a,b都是零;

⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员. 错解:⑴ a,b都不是零;

⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员.

剖析:要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系,其中“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”;“至少有一个”的否定是“一个也没有”.

正解:⑴a,b不都是零,即“a,b中至少有一个不是零”.

⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员,或写成:高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员.

错误4——认为“命题否定”就是“否命题”

根据逻辑学知识,任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题);而否命题是就假言命题(若p则q)而言的.如果一个命题不是假言命题,就无所谓否命题,也就是说,我们就不研究它的否命题.我们应清醒地认识到:假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”,而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”,而不是“若p则非

q”.

例4 写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定. 错解:不满足条件C的点不都在直线F上.

剖析:对于原命题可表示为“若A,则B”,其否命题是“若┐A,则┐B”,而其否定形式是“若A,则┐B”,即不需要否定命题的题设部分.

正解:满足条件C的点不都在直线F上.

二、几类命题否定的制作 1.简单的简单命题

命题的形如“A是B”,其否定为“A不是B”.只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可.

例5 写出下列命题的否定: ⑴ 3+4>6; ⑵ 2是偶数.

解:所给命题的否定分别是: ⑴ 3+4≤6; ⑵ 2不是偶数.

2.含有全称量词和存在量词的简单命题

全称量词相当于日常语言中“凡”,“所有”,“一切”,“任意一个”等,形如“所有A是B”,其否定为“存在某个A不是B”;存在量词相当于 “存在一个”,“有一个”,“有些”,“至少有一个”,“至多有一个”等,形如“某一个A是B”,其否定是“对于所有的A都不是B”.

全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题. 例6 写出下列命题的否定:

⑴ 不论m取什么实数,x+x-m=0必有实根. ⑵ 存在一个实数x,使得x+x+1≤0. ⑶ 至少有一个整数是自然数. ⑷ 至多有两个质数是奇数.

解:⑴ 原命题相当于“对所有的实数m,x+x-m=0必有实根”,其否定是“存在实数m,使x+x-m=0没有实根”.

⑵ 原命题的否定是“对所有的实数x,x+x+1>0”. ⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数”. ⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”.

3.复合命题“p且q”,“p或q”的否定

2

2

2

22

“p且q”是联言命题,其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“;“p或q”是选言命题,其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“;

例7 写出下列命题的否定:

⑴ 他是数学家或物理学家.⑵ 他是数学家又是物理学家. ⑶

1≥0.

x2?2x?3解:⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”.

⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”,即“他不是数学家或他不是物理学家”.

⑶若认为┐p:或

11<0,那就错了.┐p是对p的否定,包括<0

x2?2x?3x2?2x?31=0. 2x?2x?3或∵p:x>1或x<-3,∴┐p:-3≤x≤1.