发布时间 : 星期日 文章配套K12课标通用2018年高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.4随机事件的概更新完毕开始阅读769a4127fc0a79563c1ec5da50e2524de518d0a7
小学+初中+高中+努力=大学
10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率2为. 9
[典题2] 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品 顾客人数 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所200以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
1 000
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
100＋200
＝0.3.
1 000
200
(3)与(1)同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
1 000100＋200＋300
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
1 000100
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
1 000
所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． [题点发散1] 在本例条件下，估计顾客购买乙或丙的概率．
甲 √ × √ √ √ × 乙 × √ √ × × √ 丙 √ × √ √ × × 丁 √ √ × × × × 小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
217＋98
解：解法一：顾客购买乙而不购买丙的概率为＝0.315，
1 000100＋300
顾客购买丙而不购买乙的概率为＝0.4，
1 000200
顾客既购买乙又购买丙的概率为＝0.2.
1 000
故顾客购买乙或丙的概率为0.315＋0.4＋0.2＝0.915. 85
解法二：顾客既不购买乙也不购买丙的概率为＝0.085.
1 000故顾客购买乙或丙的概率为1－0.085＝0.915.
[题点发散2] 在本例条件下，估计顾客至少购买两件商品的概率是多少？ 85＋98
解：顾客只购买一件商品的概率为＝0.183.
1 000故顾客至少购买两件商品的概率是1－0.183＝0.817. [点石成金] 1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 天气 日期 天气 日期 天气 1 晴 11 阴 21 晴 2 雨 12 晴 22 阴 3 阴 13 晴 23 晴 4 阴 14 晴 24 晴 5 阴 15 晴 25 晴 6 雨 16 晴 26 阴 7 阴 17 阴 27 晴 8 晴 18 雨 28 晴 9 晴 19 阴 29 晴 10 晴 20 阴 30 雨 (1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，2613西安市不下雨的概率为＝. 3015小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次7
日不下雨的频率为.
8
7
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
8
考点3 互斥事件与对立事件的概率
(1)[教材习题改编]若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝__________. 答案：0.3
解析：∵A，B为互斥事件， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ＝0.4＋P(B)＝0.7， ∴P(B)＝0.7－0.4＝0.3.
(2)[教材习题改编]经统计，在夏日超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人及以上 0.04 则至少有2人排队的概率为__________． 答案：0.74
解析：依题意，“至少有2人排队”记为事件A，则其对立事件为至多有1人排队， 所以P(A)＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.
互斥事件：不同时发生；加法公式．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，设A＝{恰有1名男生}，B＝{恰有2名男生}，C＝{至少有1名男生}，D＝{至少有1名女生}，其中彼此互斥的事件是__________，互为对立事件的是__________．
答案：A与B，B与D B与D
解析：设I为从3名男生和2名女生中，任选2名同学去参加演讲比赛所发生的所有情小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学 况．
因为A∩B＝?，B∩D＝?， 所以A与B，B与D为互斥事件． 因为B∩D＝?，B∪D＝I， 所以B与D互为对立事件．
[典题3] [2017·河南洛阳模拟]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人及5人以上 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？
[解] 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则
G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则
H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
[点石成金] 求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．
[提醒] 应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差). 小学+初中+高中+努力=大学