发布时间 : 星期六 文章2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)更新完毕开始阅读76bb1daf30126edb6f1aff00bed5b9f3f80f7201
若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（ ） A．随C．是2
【分析】通过假设=（4，0）、=（2，2
增大而增大
B．随D．是4
）、=（x，y），利用（﹣）?（﹣
）为圆心、半径等于2的圆上，
增大而减小
）=0，计算可得向量的终点在以（3，进而可得结论．
【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2∵（﹣）?（﹣）=0， ∴（4﹣x，﹣y）?（2﹣x，2即（x﹣3）2+（y﹣
）2=4，
）、=（x，y），
﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2
y+8=0，
∴满足条件的向量的终点在以（3，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2∴m﹣n=4， 故选：D．
）为圆心、半径等于2的圆上， ，n=2
﹣2，
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，利用特殊值代入法，是一种简单有效的方法，注意解题方法的积累，属于中档题．
10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=表面积为（ ）
，BC=CD=BD=2
，则球O的
A．4π B．12π C．16π D．36π
，利用△ABC和△DBC
【分析】证明AC⊥AB，可得△ABC的外接圆的半径为
所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则
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h2+3=R2=（﹣h）2，求出球的半径，即可求出球O的表面积．
，BC=2
，
【解答】解：∵AB=3，AC=∴AB2+AC2=BC2， ∴AC⊥AB，
∴△ABC的外接圆的半径为
，
∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直， ∴球心在BC边的高上，
设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（∴h=1，R=2，
∴球O的表面积为4πR2=16π． 故选：C．
【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键． 11．（5分）已知双曲线C：
（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标
﹣h）2，
原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且A．
，则双曲线C的离心率为（ ）
B．
C．
D．
【分析】设双曲线的一条渐近线方程为x，A（a，0），P（m，），（m＞0），
由向量共线的坐标表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得m=r=
，
，运用圆的弦长公式计算即可得到a，b的关系，再由离心率公式计算即
可得到所求值．
【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程 为y=x，A（a，0）， P（m，
），（m＞0），
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由=3，可得Q（3m，），
=2m?，
圆的半径为r=|PQ|=PQ的中点为H（2m，由AH⊥PQ，可得解得m=
，r=
．
）， =﹣，
A到渐近线的距离为d=则|PQ|=2即为d=可得=e==故选：C．
=r，
r，即有， =
=
． =
?
=，
．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及圆的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2ey﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[1，e]
B．
C．（1，e] D．
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【分析】由x+y2ey﹣a=0成立，解得y2ey=a﹣x，根据题意可得：a﹣1≥（﹣1）2e
﹣1
，且a﹣0≤12×e1，解出并且验证等号是否成立即可得出．
【解答】解：由x+y2ey﹣a=0成立，解得y2ey=a﹣x，
∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2ey﹣a=0成立， ∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1， 解得
≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值
．
范围是故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知a＞0，
．
【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值． 【解答】解：由令因
的展开式的通项公式为Tr+1=
?（﹣1）r?a6﹣r?
，
展开式的常数项为15，则
=
=0，求得r=2，故常数项为
此
=
dx
原
?a4=15，可得a=1，
式xdx+
为dx=2
x2dx+2
则
x2dx+
=2?+2（故答案为：
+?
?22）=．
，
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题
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