发布时间 : 星期二 文章2019-2020第二学期4月份北京市海淀区期中数学试卷(含答案)更新完毕开始阅读76bd86502079168884868762caaedd3383c4b5ff
（18）（本小题共14分）
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
12014.20806041402002010201120122013201420152016201720182019研发投入研发投入占营收182430324.0%2.0%0.0%9.7`13.5.2.6v10.0%8.0%6.0?8815.1.6.9.7.0.9?14.0.0%其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值
（单位：十亿元）.
（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%
的概率；
（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份
的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并
说明理由.
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（19）（本小题共15分）
已知函数f(x)?ex?ax． （Ⅰ）当a??1时，
①求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； ②求函数f(x)的最小值；
（Ⅱ）求证：当a?(?2，曲线y?f(x)与y?1?lnx有且只有一个交点． 0)时，（20）（本小题共14分）
3x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，A1(?a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，
2ab△A1BA2的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q. 求证：△BPQ为等腰三角形.
（21）（本小题共14分）
已知数列?an?是由正整数组成的无穷数列. 若存在常数k?N*，使得a2n?1?a2n?kan对任意的n?N*成立，则称数列?an?具有性质?(k).
（Ⅰ）分别判断下列数列?an?是否具有性质?(2)；(直接写出结论)
①an?1； ②an?2n.
（Ⅱ）若数列?an?满足an?1≥an(n?1,2,3,L)，求证：“数列?an?具有性质?(2)”是“数列?an?为常数列”的充分必要条件；
（Ⅲ）已知数列?an?中a1?1，且an?1?an(n?1,2,3,L).若数列?an?具有性质?(4)，求数列
?an?的通项公式.
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海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案
数
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 C 7 D 8 C 9 A 10 B 学 2020春
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 题号 答案 11 12 13 0 14 15 ①② x??124 42，26 注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）解：（Ⅰ）因为AB?平面BB1C1C，C1B?平面BB1C1C
所以AB?C1B. 在△BCC1中，BC?1,BC1?3,CC1?2, 所以BC2?BC12?CC12.
所以CB?C1B. 因为ABIBC?B, AB,BC?平面ABC，
所以C1B?平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB?C1B,BC?C1B,AB?BC,
如图,以B为原点建立空间直角坐标系B?xyz.
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1则B(0,0,0)，E(?,3,1)，C(1,0,0).
2uuuruuur1BC?(1,0,0)，BE?(?,3,1).
2设平面BCE的法向量为n?(x,y,z)，
uuur?n?BC?0,? r则?uuu??n?BE?0.?x?0,?即?1
?x?3y?z?0.??2令y?3则x?0，z??3,
所以n?(0,3,?3). 又因为平面ABC的法向量为m?(0,1,0)，
m?n1所以cos?m,n???.
|m||n|2由题知二面角A?BC?E为锐角，所以其大小为
?. 3（17）解：（Ⅰ）f(0)?2cos20?sin0?2.
（Ⅱ）选择条件①.
f(x)的一个周期为π. f(x)?2cos2x?sin2x
?(cos2x?1)?sin2x
?2(22sin2x?cos2x)?1 22??2sin（2x?)?1.
4???3?7?因为x?[?,],所以2x+?[?,].
264412?所以 ?1?sin（2x?)?1.
4所以 1?2?f(x)?1?2.
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