发布时间 : 星期二 文章数理方程复习概要更新完毕开始阅读7738799d998fcc22bcd10d94
数理方程复习概要 许志奋
1 绪论：重点掌握两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简。
练习：化下列方程为标准型：
（提示：1，双曲型不要写成双曲线；2，a12的系数；3，双曲，椭圆，抛物型各如何作自变量变换）
2?2u?2u?2u?2u?2u2?u（1）42?7?32?0 （2） a?2a?2?0 （a为常数） 2?x?y?x?y?y?x?y?x?2u?2u?2u（3） ???0
?x2?x?y?2y2 波动方程的初值问题与行波法：重点掌握以下几个方面的问题
（1）能够推导并熟记一维波动方程的初值问题
utt?a2uxx???x??,t?0 {u(x,0)??(x),ut(x,0)??(x)???x??11x?at?(?)d?， 解的D’Alembert公式：u(x,t)=??(x?at)??(x?at)??22a?x?at练习：P55 1.(1)
（2）能够运用齐次化原理求解如下初值问题
utt?a2uxx?f(x,t)???x??,t?0 {u(x,0)??(x),ut(x,0)??(x)???x??其解的表达式为： u(x,t)=
x?attx?a(t??)1??(x?at)??(x?at)??1?x?at?(?)d??1?0?x?a(t??)f(?,?)d?d? 22a2a练习：P55. 4
其次，对于半无界弦的振动问题，要能够根据所给的定解条件，对自由项f(x,t) 以及初始数据φ(x), ψ(x)作适当的奇延拓( u (0,t)=0 )或偶延拓(ux(0,t)?0)，从而推出其解的表达式。具体见教材P42?P43页。
?utt?a2uxx?xt0?x??,t?0?练习：（i） ?u(x,0)?sinx,ut(x,0)?cosx0?x??
?u(0,t)?0?
?utt?a2uxx?xt0?x??,t?0?（ii）?u(x,0)?sinx,ut(x,0)?cosx0?x??
?u(0,t)?0?x（3）还要注意只由端点所引起的振动，其解为右行波的情形，即注3.1.2及3.1.3的情形。
3 分离变量法:采用逐步深入的步骤，知道下列三种情况的处理
（1）齐次方程齐，次边界条件。首先利用边界条件是确定特征函数系的，最后利用初始条件确定解的表达式中的常数的！
?utt?a2uxx0?x?l,t?0?练习 ?u(0,t)?u(l,t)?0 t?0?u(x,0)?x,u(x,0)?(l?x)0?x?lt?
（2）非其次方程，齐次边界条件。首先利用其所对应的齐次方程，齐次边界条件来确定特征函数系，从而得其形式解
n?u(x,t)??Tn(t)sinx 或
ln?1?u(x,t)??Tn(t)cosn?1?n?x l然后把自由项 f(x,t) 按照相应的特征函数系展开并代入到原方程中去，通过比较系数确定Tn(t)。
?utt?a2uxx?xt0?x?l,t?0?练习 ?u(0,t)?u(l,t)?0 t?0?u(x,0)?x,u(x,0)?(l?x)0?x?lt?
（3）非其次方程，非齐次边界条件。首先要把边界条件化为齐次的，这要通过适
当的未知函数代换。通常是令 u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),其中v(x,t) 满足齐次边界条件，根据线性法容易得到w(x,t)。这样把u 的方程化为 v 的方程，它是齐次边界条件的。否则你无法确定特征函数系。
?utt?a2uxx?10?x?l,t?0?练习 ?u(0,t)?1?t,u(l,t)?0 t?0?u(x,0)?x,u(x,0)?(l?x)0?x?lt?提示：在第三种情形下，要注意的一种稳定的非齐次问题，即教材中的注4.4.1，及例4.4.1
的解法，通过一步函数代换，可以将方程以及边界条件同时化为齐次的！这也是经常要考查的内容。
4 调和方程与Green函数法：应掌握以下几个方面的知识点
（1）知道Green公式的推导,并且能够由Green公式借助Laplace方程的基本解推导出调和函数的基本积分表达式
Green公式 Laplace方程的基本解 调和函数的基本积分表达式 二 维 三 维 ??(u?v?v?u)d???(uDC?v?u?v)ds ?n?n???(u?v?v?u)dV???(u???v?u?v)dS ?n?n 11 v?ln?ln22r(x?x0)?(y?y0)u(x0,y0)??11?u???u(ln)?lnds???2?C??nrr?n?1v?1r?21(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)14?22u(M0)????1u(M)(????nr??)?M0M1?u(M)??dSrMM?n?0 （2）理解Green函数的意义及性质，并知道半空间以及球面上的Green函数，能够以此得出Dirichlet问题的解。
（i）半空间 三维??uxx?uyy?uzz?0z?0111，其Green函数为G(M,M0)?(?)，因而
4?rM0MrM10M?u|z?0?f(x,y)?G1dS??n2?????可得出此方程解为
u(M0)????f???z0?????(x?x)02?(y?y0)2?(z?z0)322?f(x,y)dxdy
?uxx?uyy?0y?0111二维 ?，其Green函数为G(M,M0)?(ln?ln)，因而
u|?f(x)2?rrM0MM1M?y?0可得出此方程解为
u(x0,y0)?
y0f(x)dx 22????(x?x0)?y01??（ii）球域上的Green函数的作法
2222??uxx?uyy?uzz?F(x,y,z)x?y?z?R三维?，其其Green函数为
u|?f(x,y,z)2222?x?y?z?R?G(M,M0)?11R(?)，
222244??0??1?2?0?cos??0??1?2?0?cos??R其解的表达式P119 （4.4.7）
类似的可以得出二维圆域上Laplace方程Dirichlet 问题
?x2?y2?R2?uxx?uyy?0的解为 ?u|?f(x,y)??x2?y2?R2
1u(?0,?0)?2??2?02R2??0f(?)2d? 2R??0?2R?0cos?（3）一般区域上Green函数的构造，例如，四分之一平面，上半球面。 （4）调和函数的平均值性质。
5 积分变换法：
（1）首先要知道傅里叶变换及其逆变换公式
F(?)??????f(t)e?i?tdt 与 f(x)??bx212?12???24b????F(?)ei?xd?
2（2）几个重要公式，F[e?1 F[]?()eb?，F[e?x/(4c2t)]?2c?te?c?t
2211x?at?(?)sin?at]??(?)d? ?x?ata?2a1F?1[?(?)cos?at]?(?(x?at)??(x?at))
2????(f*g)(x)??f(x?t)g(t)dt
（3）掌握傅里叶变换的性质，尤其是位移性质以及微分性质，卷积性质，并能够利用傅里叶变换来求微分方程的解。
练习 P143 习题5，1，4，5，7
希望同学们能够牢固掌握上面所提到的知识点，最后祝
大家考出好成绩！