发布时间 : 星期三 文章2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练更新完毕开始阅读777632cee97101f69e3143323968011ca300f7ac
2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 一元二次不等式解法及其应用
例1 若a?b?0，c?d?0，则一定有（ ）
A．
abababab? B．? C．? D．? cdcddcdc【答案】D
【解析】由c?d?0??11???0，又 dcababa?b?0，由不等式性质知：????0，所以?
dcdc22例2 关于x的不等式x?2ax?8a?0（a?0）的解集为(x1,x2)，且x2?x1?15，则a?（ ）
A．
715515 B． C． D．
2224【答案】A
22【解析】∵由x?2ax?8a?0 (a?0)，得(x?4a)(x?2a)?0，
即?2a?x?4a，∴x1??2a,x2?4a. ∵x2?x1?4a?(?2a)?6a?15，∴a?
155?．故选A． 62x2?9?0的解集是___________． 例3 不等式
x?2【答案】(?3,2)?(3,??)
【解析】不等式可化为(x?3)(x?2)(x?3)?0采用穿针引线法解不等式即可．
例4 已知函数f(x)?x2?mx?1,若对于任意x?[m,m?1]，都有f(x)?0成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】(?2,0) 2【解析】由题意可得f(x)?0对于x?[m,m?1]上恒成立，
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?f(m)?2m2?1?02??m?0． 即?，解得22?f(m?1)?2m?3m?0题型二 应用基本不等式求函数最值 例1 已知x?【答案】1
【解析】因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又(4x?2)所以对4x?2要进行拆、凑项.
5，则函数y?4x?2?1的最大值 . 44x?51不是常数， 4x?511?5?x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1
44x?55?4x??当且仅当5?4x?【易错点】注意x?1，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1. 5?4x5,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”. 4【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值. 例 2 当0?x?4时，则y?x(8?2x)的最大值是 . 【答案】8.
【解析】因为y?x(8?2x)?112x?8?2x2[2x(8?2x)]?()?8 222当且仅当2x?8?2x，即x?2时取等号，所以当x?2时，y?x(8?2x)的最大值为8.
【思维点拨】由0?x?4知，8?2x?0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8为定值，故只需将y?x(8?2x)凑上一个系数即可.
x2?7x?10(x??1)的值域为 。 例3 函数y?x?1【答案】?9,??? 【解析】
当x??1,即x?1?0时,y?2（x?1)?4?5?9（当且仅当x＝1时取“＝”号）. x?12
【思维点拨】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离. 例4 已知x?0,y?0，且【答案】16 【解析】
19??1，则x?y的最小值为 . xy?19?y9x19?10?6?10?16 x?0,y?0,??1，?x?y??x?y??????xyxyxy??当且仅当
y9x19?时，上式等号成立，又??1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?16. xyxy1919?9x?0,y?0，且??1，?x?y?????x?y??22xy?12 ?xyxyxy??【易错点】错解：．．
故 ?x?y?min?12
错因：解法中两次连用均值不等式，在x?y?2xy等号成立条件是x?y，在1?9?29等号成立条件xyxy是
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?即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成xy
立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
【思维点拨】多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错. 例5 已知a，b为正实数，2b?ab?b?30，则函数y?【答案】
1的最小值是 . ab1 18a?b的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知?ab（a,b?R?）2?【易错点】①本题考查不等式
（a,b?R）不等式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b与ab之间的关系，由此想到
不等式
a?b，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. ?ab（a,b?R?）2【思维点拨】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 题型三 线性规划
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?x?y?2?0?例1 已知?x?y?4?0，则：
?2x?y?5?0?(1)z?x?2y?4的最大值 ； (2)z?x?y?10y?25的最小值 ； (3)z?222y?1的取值范围是 . x?1【答案】（1）21； （2）
9?37? ； （3）?,?. 2?42?【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9). (1)易知直线x?2y?4?z过点C时，z最大. 所以x＝7，y＝9时，z取最大值21. (2)z?x??y?5?表示可行域内任一点?x,y?到定点M(0,5)的距离的平方，
22过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上， 故z的最小值是
9. 2?1?y?????2?表示可行域内任一点?x,y?与定点Q??1,?1?连线斜率的2
(3)z?2???x???1?2??倍.因为kQA?73?37?，kQB?，所以z的取值范围为?,?. 48?42?【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域. 【思维点拨】(1)把直线直线x?2y?4?z变形为y??（2）根据点线距离求即可；（3）先确定定点Q??1,?1x?z?4可知在y轴上你的截距越大z就越大; 2??1??再利用斜率求. 2??x?1,?22例2 已知?x?y?1?0,则x?y的最小值是 . ?2x?y?2?0?【答案】5
【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，
而x?y表示可行域内一点到原点的距离的平方， 由图易知A?1,2?是满足条件的最优解，
22x2?y2的最小值是为5.
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