发布时间 : 星期二 文章乘法公式（基础）知识讲解更新完毕开始阅读7795f564b42acfc789eb172ded630b1c59ee9be6
乘法公式（基础）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】
【高清课堂396590 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式
平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如(a?b)(?b?a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(3x?5y)(3x?5y) （3）指数变化：如(m3?n2)(m3?n2) （4）符号变化：如(?a?b)(a?b) （5）增项变化：如(m?n?p)(m?n?p)
（6）增因式变化：如(a?b)(a?b)(a2?b2)(a4?b4) 要点二、完全平方公式
22 完全平方公式：?a?b??a?2ab?b
2(a?b)2?a2?2ab?b2
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
a2?b2??a?b??2ab??a?b??2ab
22?a?b?2??a?b??4ab
2要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
第1页 共5页
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式
(x?p)(x?q)?x2?(p?q)x?pq；(a?b)(a2ab?b2)?a3?b3；
(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3；(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc. 【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．
(1)?2a?3b??3b?2a?； (2) ??2a?3b??2a?3b?； (3) ??2a?3b???2a?3b?； (4) ?2a?3b??2a?3b?； (5) ??2a?3b??2a?3b?； (6) ?2a?3b???2a?3b?．
【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】
解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) ??2a?3b??2a?3b?＝?3b?－?2a?＝9b?4a．
2222
(3) ??2a?3b???2a?3b?＝??2a? －?3b? ＝4a?9b．
2222 (4) ?2a?3b??2a?3b?＝?2a?－?3b? ＝4a?9b．
2222 (5) ??2a?3b??2a?3b?＝??3b?－?2a?＝9b?4a．
2222【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：
【变式】计算：（1）??x3??x3??y???y?； （2）(?2?x)(?2?x)； 22??22??（3）(?3x?2y)(2y?3x)．
【答案】
x292?x??3?解：（1）原式?????y???y．
2244????（2）原式?(?2)?x?4?x．
22222 第2页 共5页
（3）原式??(3x?2y)(2y?3x)?(3x?2y)(3x?2y)?9x2?4y2．
2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】
解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝60?0.1＝3600－0.01＝3599.99 (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝100?2＝10000－4＝9996．
【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．
举一反三： 【变式】（2015春?莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
2
（1）123﹣124×122
22
（2）（2a+b）（4a+b）（2a﹣b） 【答案】
解：（1）123﹣124×122
2
=123﹣（123+1）（123﹣1）
22
=123﹣（123﹣1）
22
=123﹣123+1 =1； （2）（2a+b）（4a+b）（2a﹣b）
22
=（2a+b）（2a﹣b）（4a+b）
2222
=（4a﹣b）（4a+b）
2222
=（4a）﹣（b）
44=16a﹣b．
2
2
2
2222类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1)?3a?b?； (2)??3?2a?； (3)?x?2y?； (4)??2x?3y?．
【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.
【答案与解析】
222 解：(1) ?3a?b???3a??2?3a?b?b?9a?6ab?b．
22 (2) ??3?2a???2a?3???2a??2?2a?3?3?4a?12a?9． 222 (3) ?x?2y??x?2?x?2y??2y??x?4xy?4y ．
22 (4) ??2x?3y???2x?3y???2x??2?2x?3y??3y??4x?12xy?9y．
222222222222222 第3页 共5页
【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意??a?b???a?b?之间的转化．
224、（2015春?吉安校级期中）图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m、n表示图b中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；
（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）
22，（m﹣n），mn；
2
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）的值．
【答案与解析】 解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；
2
（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）；
2
方法②：（m+n）﹣4mn；
22
（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）=（m+n）﹣4mn；
22
（4）由（3）得：（a﹣b）=（a+b）﹣4ab，
∵a+b=7，ab=5，
22
∴（a﹣b）=7﹣4×5 =49﹣20 =29．
【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．
5、已知a?b?7，ab＝12．求下列各式的值：
2(1) a?ab?b；(2) (a?b)．
22【答案与解析】
解：(1)∵ a?ab?b＝a?b－ab＝?a?b?－3ab＝7－3×12＝13．
222222 (2)∵ ?a?b?＝?a?b?－4ab＝7－4×12＝1.
222【总结升华】由乘方公式常见的变形：①?a?b?－?a?b?＝4ab；②a?b＝?a?b?222222－2ab＝?a?b?＋2ab．解答本题关键是不求出a,b的值，主要利用完全平方公式的整体
第4页 共5页
变换求代数式的值． 举一反三：
【变式】已知(a?b)2?7，(a?b)2?4，求a?b和ab的值． 【答案】
解：由(a?b)2?7，得a?2ab?b?7； ①
由(a?b)2?4，得a?2ab?b?4． ② ①＋②得2(a2?b2)?11，∴ a?b?①－②得4ab?3，∴ ab?2222222211． 23． 4 第5页 共5页