发布时间 : 星期四 文章高中数学苏教版必修四学案：3.1.2 两角和与差的正弦更新完毕开始阅读77b11aef30126edb6f1aff00bed5b9f3f80f72c7
3.1.2两角和与差的正弦
学习目标1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值．
知识点两角和与差的正弦
思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
思考2如何推导两角差的正弦呢？
梳理(1)两角和与差的正弦公式
名称 两角和的正弦 两角差的正弦 记忆口诀：“正余余正，符号相同”． (2)辅助角公式 asinx＋bcosx＝a2＋b2?令cosφ＝
简记符号 S(α＋β) S(α－β) 公式 sin(α＋β)＝________________ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 使用条件 α，β∈R α，β∈R ?asinx＋bcosx?，
?a2＋b2?a2＋b2?
ab
，sinφ＝则有asinx＋bcosx＝a2＋b2(cosφsinx＋sinφcosx)＝a2＋b22222，a＋ba＋b
b
sin(x＋φ)，其中tanφ＝，φ为辅助角．
a
类型一给角求值
例1(1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．
sin50°－sin20°cos30°(2)＝________.
cos20°
反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．
跟踪训练1计算：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°； (2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
类型二给值求值
3π?5π3π3π
＋α＝，cos?－β?＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)． 例2已知sin??4?13?4?544
反思与感悟(1)给值(式)求值的策略：
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．
π3π123
跟踪训练2已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α与cos2β的值．
24135
类型三辅助角公式
命题角度1用辅助公式化简
例3将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式： (1)3sinx－cosx； (2)
反思与感悟一般地对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取a2＋b2，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝a2＋b2cos(α－φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值. ππ
跟踪训练3sin－3cos＝________.
1212命题角度2求函数值域?最值?
ππ
x＋?－2cosx，x∈?，π?，求函数f(x)的值域． 例4已知函数f(x)＝2sin??6??2?
反思与感悟(1)用辅助角公式化成一角一函数， 即asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x±φ)的形式． (2)根据三角函数的单调性求其值域．
跟踪训练4(1)当函数y＝sinx－3cosx(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝________； π
x＋?的值域为________． (2)函数f(x)＝sinx－cos??6?2π6π
sin(－x)＋cos(－x)． 4444
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________． ππ
＋α?＋sin?＋α?＝________. 2．化简：cos??3??6?3．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________.
ππ
4．计算2cos＋6sin的值是________．
1212
πππ?π＋3x?. －3x?cos?－3x?－cos?＋3x?·5．化简：sin?sin?4??3??6??4?
1．公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系
C(α－β)―――――→C(α＋β)――――→S(α＋β)―――――→S(α－β). (2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，角α，β的“地位”不同也要特别注意． 2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别13
要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°，＝cos60°，＝sin60°等，再如：
22123
0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数． 222
以－β代换β
诱导公式
以－β代换β
答案精析
问题导学 知识点
π
－?α＋β?? 思考1sin(α＋β)＝cos??2?