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第3章 卫星的基本运行规律与GPS卫星位置计算
GPS卫星定位必须已知其在空间的瞬时位置，而针对GPS卫星在协议地球坐标系中瞬时位置的研究，就是GPS卫星的轨道运动理论。本章主要内容包括卫星无摄运动、受摄运动以及卫星瞬时位置与瞬时速度的计算等内容。
3.1 卫星的无摄运动
忽略所有的摄动力，仅考虑地球质心引力的情况下来研究卫星相对于地球的运动，在天体力学中，称之为二体问题。二体问题下的卫星运动虽然是一种近似描述，但能得到卫星运动的严密分析解，从而可以在此基础上再加上摄动力来推求卫星受摄运动的轨道。在摄动力的作用下，卫星的运动将偏离二体问题的运动轨道，常将此称为考虑了摄动力作用的受摄运动。
一、二体意义下卫星的运动方程
将地球和卫星均假设为质量集中的质点，研究二者在万有引力作用下的相对运动问题，在天体力学中称为二体问题。根据万有引力定律，地球受卫星的引力Fe可表示为
Fe?G?M?mr2??rr （3-1）
卫星受地球的引力Fs与Fe数值相等方向相反，根据牛顿第二定律卫星和地球在万有引力作
用下产生的加速度as和ae分别为
G?M?a??2?sr?G?m?ae??2r???r （3-2） rr?r则卫星相对于地球的加速度A应为
?G?(M?m)rA?as?ae??? （3-3） 2rr?因为m< 其二阶导数drt分别以其坐标（X，Y，Z）及相应的二阶导数分量表示，则卫星相对地球的运动方程可表示为 ?d2X????X?23dtr?2??dY???Y （3-4） ? 23dtr?2?dZ????Z3?dt2r?2?2二、开普勒定律 在二体意义下，卫星绕地球的运动与行星绕太阳的运动具有相同的力学关系，因此，卫星的运动规律可由德国天文学家开普勒所发现的行星运动三大规律描述。 （1）开普勒第一定律 卫星运动的轨道是一个椭圆，而该椭圆的一个焦点与地球的质心重合。 轨道椭圆称开普勒椭圆，其形状和大小不变。在椭圆轨道上，卫星离地心最远的一点称远地点，而离地心最近的一点称近地点，他们在惯性空间的位置也是固定不变的。据公式（3-3），可得卫星绕地球质心运动的轨道方程为 r?as1?es?2?1?escosfs （3-5） 公式中es为开普勒椭圆的偏心率，e?a?ba222； fs为真近点角，表示任意时刻卫星在轨道上相对近 地点的位置，是时间的函数。 （2）开普勒第二定律 卫星在过地球质心的平面内运动，其向径在相同的时间内所扫过的面积相等。 该定律表明，卫星在椭圆轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点处速度最大，在远地点时速度最小。但其位能和动能在运动过程中保持不变，即 12msvs?2 图3-1 开普勒椭圆 GMmrs?常量 （3-6） 公式中vs表示卫星运行速度。 （3）开普勒第三定律 卫星运行周期的平方，与轨道椭圆长半径的立方之比为一常数，即 TSa23s?4?2GM （3-7） 公式中Ts为卫星运动的周期。若以n表示卫星运动的平均角速度，则可根据（3-7）式得到， 1?GM n???a3?s?2? （3-8） ??三、无摄卫星运动的轨道参数 二阶常微分方程组（3-4）的积分包含6个积分常数，卫星运动状态就由这6个积分常数确定，称它们为卫星的轨道参数或卫星星历。为了方便确定卫星在任一瞬间的位置，天文学中常采用六个基本的卫星轨道参数： 轨道椭圆的长半径a及其偏心率es，确定了开普勒椭圆的形状和大小，称为轨道椭圆形状参数。 升交点的赤径Ω（即在地球赤道平面上，升交点N与春分点r之间的地心夹角。升交点N即当卫星由南向北运动时，其轨道 图3-2 开普勒轨道参数 与地球赤道面的交点）和轨道面的倾角i（即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹角）唯一地确定了卫星轨道平面与地球体之间的相对定向，称为轨道平向参数。 近地点角距ω（即在轨道平面上近地点A与升交点N之间的地心角距），这一参数表达 了开普勒椭圆在轨道平面上的定向，称为轨道椭圆定向参数。 卫星的真近点角fs（即在轨道平面上卫星与近地点之间的地心角距），该参数为时间的函数，确定了卫星在轨道上的瞬时位置。 四、真近点角fs的计算 卫星的真近点角fs为时间的函数，其余轨道参数均为独立的常数，因此，fs的计算成为计算卫星瞬时位置的关键。在计算fs时，需要运用两个辅助参数：偏近点角E和平近点角M。 1、偏近点角ES 如图3-3所示，以长轴as为半径作辅助圆，过卫星质心ms平行于椭圆半短轴的直线交辅助圆于m″。由近地点P至图3-3 真近点角与偏近点角 m″的圆弧所对应的圆心角即为卫星所对应的偏近点角ES。 2、平近点角MS 根据卫星在轨道上运动的平均角速度n，可按公式（3-9）计算平近点角， MS ?n??t?t0? （3-9） 公式中t0为卫星过近地点的时刻，t为观测时刻。对于确定的卫星而言，其平均角速度n为 一个常数，所以对于任意观测时刻t卫星的平近点角可由公式（3-9）唯一确定。 3、真近点角fs的计算 真近点角的计算可分两步进行： （1）由平近点角计算偏近点角 根据开普勒方程偏近点角和平近点角之间存在如下关系， ES?MS ?essinES （3-10） 可用叠代法取ES的初值为ES0?MS，直至?ES?ESn?ES(n?1)小于某微小量叠代结束。 （2）由偏近点角计算真近点角 由图3-3容易建立以下关系式， aScosES?rcosfS?aSeS （3-11）考虑到卫星轨道方程式（3-5），有 r?aS?1?eScosES? （3-12）因而可得真近点角与偏近点角之间的关系 cosES?eS?cosf?S?1?eScosES?1 （3-13） ?221?eSsinES?sinfS??1?eScosES???为了在求fS时易于判断其所在象限，常采用如下的公式， tgf2?sinf1?cosf?1?e1?etgE2 （3-14） 3.2 卫星的瞬时位置与瞬时速度计算 一、卫星的瞬时位置计算 卫星的轨道参数可确定任一观测历元卫星相对于地球的瞬时空间位置。但是为了实用上的方便，卫星的瞬时位置一般都采用与地球质心相联系的直角坐标系描述。本部分内容将介绍不同直角坐标系统中表示卫星位置的方法。 1、轨道直角坐标系下卫星的位置 如图3-4，可选取两种轨道平面直角坐标系OXSYSZS和OXOYOZO，其纵轴均垂直于轨道平面向上，构成右手坐标系；不同之处在于前者X轴指向近地点P，后者指向升交点N。 在OXSYSZS坐标系下，卫星S于观测历元t时的坐标为 ?xS?y?S??zS??cosf?????rsinf （3-15） ???????0?? 图3-4 两种轨道平面直角坐标系 根据公式（3-12）和（3-13）有 ?xS?y?S??zS?cosE?e??1???2 ?a??1?e?2sinE? （3-16） ????0???在OXOYOZO坐标系下，若设任意观测历元t瞬时卫星升交距为??t????f(t)，卫星的瞬时位置为 ?xO?y?O??zO??cos???cos????????rsin??a?1?ecosE?sin? （3-17） ??????????0???0??轨道直角坐标系下，GPS卫星位置的表达只是一种过度性表达。 2、天球坐标系下卫星的位置 OXSYSZS坐标系与天球坐标系OXYZ的关系由轨道参数ω、i和Ω来确定，如图3-5所示， 绕ZS轴 OXSYSZS R3（-ω） OXOYOZO R1（-i） 绕XO轴 天球赤道平面 R3（-Ω） 绕ZO轴 OXYZ 图3-5 卫星轨道坐标系与天球坐标系的转换框图 旋转矩阵若以R313表示，则 R313?R3????R1??i?R3???? （3-18）据公式（3-16）可得卫星在瞬时天球坐标系中的坐标表达为