发布时间 : 星期三 文章《抽象代数基础》习题解答更新完毕开始阅读77d1cb4e4431b90d6d85c72e
(1)若J是R的一个理想且J?I,则J/I是R/I的理想;
(2)若L是R/I的一个理想,则存在R的理想J,使J?I且L?J/I. 证明 (1)设J是R的一个理想且J?I.首先,由于N是加群R的正规子群且J是加群R的子群且J?I,根据第一章命题5.13(1),J/I是加群R/I的子群.其次,由于J是R的理想,对于任意的r?R和任意的j?J,我们有rj,jr?J,从而,
(rN)(jN)?(rj)N?J/N,(jN)(rN)?(jr)N?J/N.
所以J/I是R/I的理想.
(2)设L是R/I的一个理想.于是,L是加群R/I的一个子群.首先,根据第一章命题5.13(2),存在加群R的子群J,使J?I且L?J/I.此外,由于L?J/N是R/I的理想,因此对于任意的r?R和任意的j?J,我们有
(rj)N?(rN)(jN)?J/N,(jr)N?(jN)(rN)?J/N,
从而,rj,jr?J.所以J是R的理想.
3.设I是环R的一个左理想,令0:I?{a?R|aI?0},证明:0:1是R的一个左理想.
注 应将“0:I?{a?R|aI?0}”改为“0:I?{a?R|aI?{0}}”. 证明 首先,显然0?0:I.其次,对于任意的a,b?0:I,我们有aI?bI?{0},从而,ai?bi?0,?i?I.因此
(a?b)I?{(a?b)i|i?I}?{ai?bi|i?I}?{0},?a,b?0:I.
所以0:I是加群R的子群.此外,对于任意的r?R和任意的a?0:I,我们有
(ra)i?r(ai)?r0?0,?i?I,
从而,ra?0:I.所以0:1是R的一个左理想.
4.设R是环,I1?I2???In??是R的一个理想链,证明:??n?1In是R的理想.
证明 由于I1?I2???In??是加群R的一个子群链,根据第一章§3习题第13题,??n?1In是加群R的子群.
其次,设r?R,a???n?1In.于是,存在正整数n,使得a?In.由于In是R的理想,因此ra,ar?In,从而,ra,ar???n?1In.
所以??n?1In是R的理想.
5.设I是有单位元的环R的一个理想,令I[x]是多项式环R[x]中所有系数在
I中的多项式组成的集合,证明:I[x]是R[x]的一个理想.
证明 显而易见,I[x]是多项式环R[x]的一个子环.此外,对于任意的
f(x)??j?0rjxj?R[x]和任意的g(x)??k?0akxk?I[x],我们有
f(x)g(x)??l?0(?j?k?lrjak)xl,
m?nmng(x)f(x)??l?0(?j?k?lakrj)xl.
m?n由于I是环R的一个理想,因此?j?k?lrjak,?j?k?lakrj?I,?l?{0,1,?,m?n}.由此可见,f(x)g(x),g(x)f(x)?I[x].所以环R的一个理想.
6.设R是数域P上所有2阶方阵构成的环,证明:R的理想只有{0}和R. 注 本题中的0是指2阶零矩阵.
证明 考察环R的任意一个非零理想I:任取非零矩阵A?I.
假设A的秩等于2.于是,对于任意的C?R,存在B?R使得AB?C.因为I是R的理想且A?I,由AB?C可知C?C.由此可见,I?R.
假设A的秩等于1.令
?10??01??00??00??10?????????,,,,B1??B?B?B?E??00?2?00?3?10?4?01??01??. ??????????于是,存在可逆矩阵Pi,Qi?R(i?1,2,3,4),使得
PiAQi?Bi(i?1,2,3,4).
因为I是R的理想且A?I,由以上四式可知Bi?I(i?1,2,3,4).这样一来,注意
?ab?到I是R的理想,对于任意的??cd???R,我们有
???ab??a0??b0??c0??d0???????????B?B?B?B?I. 1?2?3?4??cd?????????0a??0b??0c??0d?由此可见,I?R.
综上所述,可以断言,R的理想只有{0}和R.
§4 环的同态
1.设f是环R到环R'的同态,证明:Ker(f)是R的理想.
证明 由于f是环R到环R'的同态,因此f是加群R到加群R'的同态.根据第一章中的命题6.6,Ker(f)是加群R的(正规)子群.此外,对于任意的r?R和
a?Ker(f),我们有
f(ra)?f(r)f(a)?f(r)?0?0,f(ar)?f(a)f(r)?0?f(r)?0,
从而,ra,ar?Ker(f).由此可见,Ker(f)是R的理想.
2.设f是环R到环R'的同构,证明:f?1是环R'到环R的同构.
证明 由于f是环R到环R'的同构,因此f是加群R到加群R'的同构.根据第一章§6习题第1题,f?1是加群R'到加群R的同构.又因f保持乘法运算,故对于任意的a',b'?R'总有
f(f?(a')f?1(b'))?f(f?(a'))f(f?1b'))?a'b',
从而,
f?1(a'b')?f?1(a')f?1(b').
所以f?1是环R'到环R的同构.
3.证明定理4.3.
注 定理4.3如下:设R是一个环,I是R的理想. (1)若J是R的理想,则(I?J)/I?J/(I?J); (2)若J是R的理想,且J?I,则(R/I)/(J/I)?R/J. 证明 (1)令
f(a)?a?I,?a?J.
根据第一章中的定理6.11(1)及其证明,f是加群J到加群(I?J)/I的满同态,并且Ker(f)?I?J.此外, ,还有
f(ab)?ab?I?(a?I)(b?I)?f(a)f(b),?a,b?J.
所以f是环J到加环(I?J)/I的满同态,并且Ker(f)?I?J.这样一来,根据环的同态基本定理,在环的同构的意义下,(I?J)/I?J/(I?J).
(2)令
f(a?I)?a?J,?a?R.
根据第一章中的定理6.11(2)及其证明,f是加群R/I到加群R/J的满同态,并且Ker(f)?J/I.此外,还有
f((a?I)(b?I))?f(ab?I)?ab?J ?(a?J)(b?J)?f(a?I)f(b?I),?a,b?R.
所以f是环R/I到环R/J的满同态,并且Ker(f)?J/I.这样一来,根据环的同态基本定理,在环的同构的意义下,(R/I)/(J/I)?R/J.
4.设I是有单位元的环R的一个理想,令I[x1,x2,?,xn]是多项式环
R[x1,x2,?,xn]中所有系数在I中的多项式组成的集合,证明:I[x1,x2,?,xn]是R[x1,x2,?,xn]的一个理想,且
R[x1,x2,?,xn]/I[x1,x2,?,xn]?(R/I)[x1,x2,?,xn].
证明 反复利用§3习题第5题的结论可以推知,I[x1,x2,?,xn]是
R[x1,x2,?,xn]的一个理想.
对于任意的f(x1,x2,?,xn)??j?0rjXj?R[x1,x2,?,xn],令
φ(f(x1,x2,?,xn))??j?0(rj?I)Xj,
pp其中,
Xj?x1j1x2j2?xnkkkjn,kji?0,i?1,2,?,n,j?0,1,?,p.
不难验证,φ是环R[x1,x2,?,xn]到环(R/I)[x1,x2,?,xn]的满同态,并且Ke(rφ)?I[x1,x2,?,xn](验证过程从略).根据环的同态基本定理,
R[x1,x2,?,xn]/I[x1,x2,?,xn]?(R/I)[x1,x2,?,xn].
5.设R是有单位元的环,证明:R[x]/(x)?R. 证明 定义R[x]到R的映射φ如下:
φ(f(x))?f(0),?f(x)?R[x].
显而易见,φ是R[x]到R的满同态,并且Ker(φ)?(x).所以R[x]/(x)?R.
6.设f是环R到环R'的满同态,I'是环R'的一个理想,证明:f?1(I')是R的理想且R/f?1(I')?R'/I'.
证明 由于f是环R到环R'的满同态,因此f是加群R到加群R'的满同态.由于I'是环R'的一个理想,因此I'是加群R'的(正规)子群.根据第一章§6习题第7题, f?1(I')是加群R的子群,并且,在群的同构意义下,R/f?1(I')?R'/I'.
其次,由于I'是环R'的一个理想,对于任意的r?R和任意的a?f?1(I'),有
f(ra)?f(r)f(a)?I',f(ar)?f(a)f(r)?I',
从而,ra,ar?f?1(I').所以f?1(I')是R的理想.
现在令
f(a?f?1(I'))?f(a)?I',?a?R.
显而易见,f是加群R/f?1(I')到加群R'/I'的同构.此外,对于任意的a,b?R,有
f((a?f?1(I'))(b?f?1(I')))?f(ab?f?1(I'))
?f(ab)?I'?f(a)f(b)?I'?(f(a)?I')(f(b)?I') ?f(a?f?1(I'))f(b?f?1(I')).
因此,f是环R/f?1(I')到环R'/I'的同构.这就是说,在环的同构意义下,有
R/f?1(I')?R'/I'.
7.设I,J是环R的理想,假设R?I?J且I?J?{0}(此时称R是I和J的内直和),证明:R?I?J.
证明 对于任意的a?I和b?J.令
f((a,b))?ab,?a?I.
根据第一章§6习题第8题及其解答可知,f是加群I?J到加群R的同构.其次,对于任意的a1,a2?I和b1,b2?J,由于I,J是环R的理想且I?J?{0},我们有
a2b1,b1a2?I?J,
从而,a2b1,?b1a2?0.因此
f((a1,b1)(a2,b2))?f((a1a2,b1b2))?a1(a2b)1b2?0, f((a1,b1))f((a2,b2))?a1(b1a2)b2?0,
从而,f((a1,b1)(a2,b2))?f((a1,b1))f((a2,b2)).所以在环的同构意义下,有
R?I?J.
8.设I,J是环R的理想且R?I?J,证明:R/(I?J)?R/I?R/J.