发布时间 : 星期六 文章2019年全国中考数学真题分类汇编3：代数几何综合压轴题更新完毕开始阅读77ded3a0ba68a98271fe910ef12d2af90242a89c
∴tan?ACP?1 3作PH?AC于H点，设P(m,0)，则AP?3?m ∴PH?AH?22(3?m)，CH?(3?m) 222(3?m)PH1∴2??tan?ACP?
CH32(3?m)23?m13? 解得m? 3?m3233∴P(,0) ∴l：y??x?
22即
2.（2019年山东省滨州市）如图①，抛物线y＝﹣
x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于
点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D． （1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点 ①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线AD的距离为
时，求sin∠PAD的值．
【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4）， 当y＝0时，0＝﹣
x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），
∴OA＝OB＝4， ∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD， ∴∠BAD＝90°， ∴OAD＝45°， ∴∠ODA＝45°， ∴OA＝OD，
∴点D的坐标为（4，0），
设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，
，得
，
即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示， 设点P的坐标为（t，﹣∴PN＝（﹣
t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），
t2+
t，
t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣
∴PN⊥x轴， ∴PN∥y轴，
∴∠OAD＝∠PNH＝45°，
作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°， ∴PH＝
＝
（﹣
t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+），
，
∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，
即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，②当点P到直线AD的距离为
时，如右图②所示，
），最大距离是；
则t＝，
解得，t1＝2，t2＝10， 则P1的坐标为（2，当P1的坐标为（2，
，
），P2的坐标为（10，﹣），则P1A＝
），
＝
∴sin∠P1AD＝＝；
当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，
∴sin∠P2AD＝＝；
由上可得，sin∠PAD的值是或．
3. （2019年山东省菏泽市）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在第二象限内，且PE＝
OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】待定系数法、面积问题、三角函数、探究等腰三角形问题
【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），
则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8）， 即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝故抛物线的表达式为：y＝
，
x2+x﹣2；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣
x﹣2，则tan∠ABC＝
x2+
，则sin∠ABC＝，
设点D（x，0），则点P（x，∵PE＝∴PE＝（
x﹣2），点E（x，x﹣2），
OD， x2+
x﹣2﹣
x+2）＝
（﹣x），
解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0）， 即点D（﹣5，0）
S△PBE＝
（﹣4﹣x）＝
×PE×BD＝；
（x2+x﹣2﹣x+2）
（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD＝BM的情况，
BD＝1＝BM，
则yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×则xM＝﹣故点M（﹣
， ，﹣
）．
＝﹣
，
4. （2019年山东省枣庄市）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交