发布时间 : 星期一 文章全等三角形在初中数学中的应用论文更新完毕开始阅读7807b0f1cc22bcd127ff0c6e
1引言
“全等三角形”是初中数学阶段的“图形与几何”中的重要内容之一，它不仅是研究平面几何相关问题的重要工具,而且还是中学数学的基础知识.然而，全等三角形的性质是推理线段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考题中都会有“全等三角形”的内容,考试题目常以直角三角形、等腰三角形、等边三角形、特殊四边形为背景,主要考查线段相等、角相等的证明、线段长度的计算、面积的计算等.常考的题型有填空题、选择题和解答题.这部分试题的难度通常不大,多以中低档题为主，约占总分值的4%至11%.《数学课程标准》对全等三角形的要求是让学生掌握基本的推理技能，从图形变换中建立空间观念，尝试用不同角度的方法来解决问题，发展几何直觉，通过观察、实践、归纳、类比、推断、验证获得数学思想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的抽象性和严谨性.
对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形之间联系研究的第一步，它是两三角形间最简单、最常见的关系.“全等三角形的证明”条件是学生在认识三角形的基础上，在了解全等图形和全等三角形以后进行学习的.它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似三角形的条件的基础，并且是用以说明线段相等、两角相等的重要依据.因此，它具有承上启下的作用,同时，人教版教材里叙述了证明全等三角形的四种方法，分别是“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”，还有一种特殊的方法是在直角三角形中“斜边和一条直角边”，它们用特定的字母表示为“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要将“边角边”这一识别方法作为五个基本判定之一，对全等三角形证明的学习有基础作用.
2 文献综述
2．1国内研究现状
国内许多专家、学者研究过全等三角形的证明方法.全等三角形的证明一直在初中数学平面几何中占重要位置，然而，近几年它获得了广大人民群众的关注.刘建东在文[1]中编著了以构造全等三角形来探究不等式的证明，形象的写出了全等三角形的作用及其应用.同年，好未来研发中心在文[2]研发了添加了辅助线的添加方法，全等三角形的用处多，并配合人教社教材八年级数学叙述了不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数
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学思想.同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，从而激发学生学习数学的兴趣.杨晓军在文[3]中精选了有关全等三角形的中考题进行解析，让同学们找到中考复习方向，引领学生成功中考.林伟杰在文[4]全析了全等三角形的性质、判定及其应用.刘申强在文[5]中编著了全等三角形在生活中的应用，从生活中的不同角度研究了全等三角形，发现数学在现实生活中的美.黎强在文[6]提出了《全等三角形》的教学构想，指出了如何确定教学目标，教学重难点.喻俊鹏在文[7]中，编著了全等三角形的易错题，并结合实例列举了初中数学中全等三角形的若干案例，分析出了学生在有关全等三角形的证明解题过程中存在的各种问题.刘玉东、董云霞、查贵宾在文[8]、[9]、[10]中探讨了构造全等三角形的方法与技巧.张文国在文[11]中总结了全等三角形的创新题，让读者以创新思维思考全等三角形的证明.保明华在文[12]中讨论了全等三角形中考探索题，让学生感受证明全等三角形的探索性和创新性，并且辅导学生掌握全等三角形的证明的方法.李怀奎在文[13]中指出如何对基本图形的认识来找全等三角形，从基本的图形认识开始发现全等三角形.解广义在文[14]中进行了全等三角形的教学设计，生动形象的设计了全等三角形证明的教学过程.姜彰全,吴颖二人在文[15]中讲解了如何巧证全等三角形，淋漓尽致地写出了全等三角形的证明技巧.
2．2国内研究评价
从查到的国内文献来看，国内研究者对全等三角形的证明方法介绍了很多，文献[1-15]分别全等三角形的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种全等三角形的证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如构造法在形式上都是根据三角形的性质来进行分解求解的，但不同的图形有不同的构造方法，所以，有必要重新整理和归纳全等三角形证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性.
2．3提出问题
全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，而且全等三角形的证明历来是中学特别是初中数学教学的一个重点和难点.因此，在前人研究全等三角形的证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法.
3 证明全等三角形的知识梳理及注意事项
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3．1全等三角形知识梳理
定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形（注：相似三角形的特殊情况是全等三角形）.
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.
所以，可以得出：全等三角形的对应角相等，对应边相等.
(1) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (2) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，公共角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 三角形全等的判定公理及推论
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“SSS”)，这一条说明了三角形具有稳定性.
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边” 或“SAS”). 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(“角边角” 或“ASA”). 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边” 或“AAS”).
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边，直角边” 或“HL”).
所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理.
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状.【A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)】
全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等.
2、全等三角形的对应边上的高对应相等. 3、全等三角形的对应角平分线相等. 4、全等三角形的对应中线相等. 5、全等三角形面积相等. 6、全等三角形周长相等 [1].
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3．2证明全等三角形的步骤及注意事项
如何学好全等三角形的证明呢？这就要小步走，勤思考，进行由易到难的训练，实现由实（题目已有现成图形）到虚（要自己画图形或需要添加辅助线）、由模仿证明到独立推理的升华.具体可分为三步走： 第一步，学会解决只证一次全等的简单问题，重在模仿.这期间要注意课本例题证明的模仿，使自己的证明语言准确，格式标准，过程简练.证明两个三角形全等，一定要写出在哪两个三角形，这既为以后在复杂图形中有意识去寻找需要的全等三角形打下基础，更方便批阅者；同时要注意顶点的对应，以防对应关系出错；证全等所需的三个条件，条件不明显的要先证明，最后用大括号括起来；每一步要填注理由，训练思维的严密性.通过训练一段时间，对证明方向明确、内容变化少的题目，要能熟练地独立思考证明，切实迈出坚实的第一步.第二步，能在一个题目中用两次全等证明过渡性结论和最终结论，学会分析.在学习等腰三角形全等、直角三角形时逐步加深难度，学会一个题目中证两次全等，特别要学会用分析法有条不紊地寻找证题途径，分析法目的性强，条理清楚，结合综合法，能有效解决较复杂的题目.同时，这时的题目一般都不只一种解法，要求一题多解，比较优劣，总结规律.第三步，学会命题的证明，掌握添加辅助线的常用方法.命题的证明可全面培养数学语言（包括图形语言）的运用能力，则在已知和未知间架起一座沟通的桥梁就要用到辅助线，这都有一定的难度，切勿前功尽弃，放松努力.同时要熟悉一些基本图形的性质，如“角平分线＋垂直＝全等三角形”.证明全等不外乎要边等、角等的条件，因此在平时学习中就要积累存在或可推出边等（或线段等）、角等的情况.应用起来自然会得心应手.
4 证明全等三角形的构造法
所谓构造法，就是指通过分析条件和结论充分细致，抓住问题的特征，恰当地构造辅助元素，联想熟知的数学模型，然后变换命题，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学思考方法.构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出精巧、简捷、明快、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性.
4．1构造全等三角形的常用方法
截长补短法、平行线法（或平移法）、旋转法、倍长中线法、翻折法. 4．1．1 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）
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