发布时间 : 星期四 文章全等三角形在初中数学中的应用论文更新完毕开始阅读7807b0f1cc22bcd127ff0c6e
“截长法”即根据已知条件把结论中最大的线段分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等.
例1 如图（1）已知：正方形ABCD中，?BAC的平分线交BC于E，求证：
AB?BE?AC.
简析：图中没有直接给出与问题有关的全等三角形，所以要延长一条直线，构造出全等三角形，根据角相等证明出三角形是等腰三角形，然后利用转换思想BE?BF，就可以证明出结果.
证明:延长AB至F使AF?AC ∵AE是?CAB的平分线 ∴?FAE??CAE 在?FAE和?CAE中 ∵AF?AC ∵?FAE??CAE ∵AE?AE
∴?FAE??CAE(SAS) ∴?EFA??ECA?45? ∴?BFE是等腰直角三角形 ∴BE?BF
∴AF?AB?BF?AB?BE ∴AB?BE?AC
小结：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两
5
条（或几条）线段转化到同一直线上．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：延长其中一条短线段，在上面上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法就是这两种．
4．1．2平行线法（或平移法）
若题目中含有中点可以试过中点作平行线或中位线（平行且等于第三边的一半），对直角三角形,有时可作出斜边的中线．
例2 如图，在?ABC中，?BAC?60?，?C?40?,AP平分?BAC交BC于点P，
BQ平分?ABC交AC于Q，求证:AB?BP?BQ?AQ
图（3）
说明:(1)本题可以在AB截取AD?AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法\．
(2)本题利用“平行线法”的解法较多，举例如下：
① 如图（2），过O作OD//BC交AC于D，则证明?ADO??ABO解决． ② 如图（3），过O作DE//BC交AB于D，交AC于E，则证明?ADO??AQO和
?ABO??AEO解决．
③ 如图（4），过P作PD//BQ交AB的延长线于D，则需证明?APD??APC解决． ④ 如图（5），过P作PD//BQ交AC于点D，则只需证明?ABP??ADP解决． 4．1．3旋转法
对题目中出现相等的线段有一个公共端点时，可尝试用旋转法来构造全等三角形 例3 如图，设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PB?PC的大小．
6
图（6）
简析：题目虽然短，但涉及到的知识点很多．由于?ABC是等边三角形，所以可以将?ABP绕点A旋转60?到?ACP?的位置（用到等量代换），连结PP?，则
?ACP???ABP(SAS)，所以AP??AP，CP??BP，则?APP?是等边三角形，即PP??PA，
在?CPP?中，因为PP??PC?P?C，所以PA?PB?PC．
说明：由于图形旋转的前后，只是变化了位置，而大小和形状都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形解题． 4．1．4倍长中线法
题目中若条件有中线，可将其延长一倍，以构造新的全等三角形，从而使分散条件集中在一个三角形内．
例4 如图，在?ABC中，AD是它的中线，作BE交AD于点F，使AE?EF． 说明线段AC与BF相等的理由．
图（7）
简析： 由于AD是?ABC中线，于是可延长中线AD到G，使DG?AD，连结BG，则 在?ACD和?GBD中，AD?GD，?ADC??GDB，所以?ACD??GBD(SAS)， 则
AC?GB，?BFG??G，而AE?EF，所以?CAD??AFE， 又因为?AFE??BFG，
所以?BFG??G， BF?BG，即AC?BF．
说明 ：要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而
7
遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形． 4．1．5翻折法
若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例5 如图，已知：在?ABC中，?A?45?，AD?BC，如果BD?4，DC?3， 求
?ABC的面积．
图（8）
解：以AB为轴将?ABD翻转180o，得到与它全等的?ABE，以AC为轴将?ADC翻转180o，得到 与它全等的?AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方
t?BGC形，设它的边长为?，则BG???4，CG???3，在R中，(??4)2?(??3)2?52,
解得??8，则AD?6，所以S?ABC?5?8?20． 2说明：当从题目已知中不能直接明确的求出问题时，我们可以从一般图形通过翻转转变为特殊的图形，用简便的方法求解，变换可以有一步或几步．
4．2由角平分线构造全等三角形
不管是两个图形轴对称还是轴对称图形，我们都不难发现轴上一点（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，方便我们在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的．
例6 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，?DBC?45?，翻折梯形ABCD，使点
B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD?4，BC?10．求BE的长．
图（9） 图（10）
8