发布时间 : 星期三 文章随机振动讲义全文更新完毕开始阅读781801acbb4cf7ec4afed091
所以
x(t)???h????f?t????d???????????h(?)f?t???d?
?f?t?*h?t?即卷积可以互相交换
x(t)?h(t)*f( t ) (3-6)
频域是从另一个角度来分析系统信息的特性，从上式很容易看出，若对其两边分别作傅里叶变换有
X????H???F??? (3-7)
显然在频域它们之间的关系更为简单，其中H???即为h(t)的傅立叶变换。另外，从方程的原始形式经傅立叶变换也可得到H???的表达式（3-2）。
3.2 单自由度系统随机响应分析
在零初始条件下，平稳随机激励f(t)作用在SDOF结构系统上，有
??mx?cx?kx?f?t? ???x?0??x?0??0已知：f(t)的?f，Rf(?)，Sf???
2求：?x，Rx(?)，Rxf?Rfx?(?)，?x，Sx???，Sxf???，Sfx???。
(1) 响应均值
t? ?x?E??x???????E???????h?f?t????????? d?? ??h???E?t????f?????????? ?d1?f (3-8) k ??f??h????d???fH?0??(2) 响应自相关函数
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Rx????E?t????t?x???x??E??f?t??1???h?1???d?1???????????? ?E??f?t??1????????????f??t???2???h??2??d??2?d??2??f?t???2???h?1??h?2?d1 (3-9)
d2????????????????????E???1??f?tRf????1??2???2?1??f?t?1????1???h?1??h?2?d???h???1h???2?d?1d2(3)激励与响应的互相关函数
Rfx????E??f?t?x?t????????E?f?t???f?t????1?h??1??d?1???????????E?f?t??f?t????1?h??1??d?1??????? (3-10)
??????????E??f?t??f?t????1???h??1??d?1Rf????1?h??1?d?1???Rf????h???
激励与响应的互相关函数等于激励的自相关与单位脉冲响应函数的卷积。
??????(4) 响应的均方值的激励力相关函数表示 ??Rx?0???2x??? 2 (3-11) Rf?????1?h??2d?1d ?1??2?h(5) 响应的自功率谱密度函数
Sx?????????????????????Rx???e?j??d?Rf????1??2??????
?????????????h???1h???2d?d?1?e2?j??d?????2Rf????1??2??e?j?????1??2??ej????1??h???1h???2d?d?1d?2?Sf????????????h??1?e?j?????1?j??2d?1?h???d?2e? (3-12)
2?Sf????H?????H????Sf????H*????H????H????Sf???(6) 激励与响应的互谱
2Sfx????F?????Rf?x? (3-13)
?F??Rf????h??????Sf????H???
注意，通过激励与响应互谱以及激励的自谱的测量，通过(3-13)式可以用实
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验的方法估计H???，通过(3-12)式也可估计H???，但仅仅幅频特性，所以(3-13)式更有用。
(7) 响应的均方值的激励力功率谱表示
1??2?Rx?0??Sx????d? ?x2????21??H?Sf????d? ? ??2????
对小阻尼线性结构系统H???在共振点有一尖峰，对能量的贡献只在尖峰左
2右的带宽内是主要的，为此可认为该系统是个窄带滤波器，响应谱变成一个窄带过程，主要集中在???n附近；有时工程上可近似地以Sf??n?代替Sf???简化计算。
(8) 激励和响应的谱相干函数
?fx????
Sfx???2Sf????Sx????Sf????H???22Sf????H????Sf????1
若?fx????1，则可能是系统非线性，或者测量数据的噪声影响。
例3-1： SDOF系统受f?t?作用，f?t?是?f?0,Sf????S0的理想白噪声过程。求系统的响应的自相关函数、自谱、均方值和激励与响应的互相关函数及互谱。 解：
Rf?????12??????Sf????ej???d?S0??j??ed????2??S0????
Rx????S0???????????????1??2?h(?1)h(?2)d?1d?2
???2?????1??h(?2)d?2h(?1)d?1?S0?h(?1)?h(???1)?d?1?????S0????????????S0m2?d2S0m2?d???0e?n(??2?1)sin?d?1?sin?d????1?d?1?e2?n????0e?2n?11?cos?d??cos?d?2?1????d?12
S0e?n??22m2?d?cos????e?2n?1d????e?2n?1cos??2????d??d?01?0d11????S0e?n?cos?d?S0??224m2?d???n4m2?d
????e?n?2?1???cos?d?2?1???d?2?1???35
???e????n?2?1???cos?d?2?1???d?2?1???1??sin?d?2?代入上式有
e?n??n??cos???d?
S0e?n?Rx????34m2??n??Se???n??sin?d???0?cos?d??2kc1??2???????sin?d?? ?cos?d??21??????由于偶函数的自相关性对于??0的情形，可将上式中的?用?来代替。
Rx????S0???n?e2ck???cos???sin???? dd1??????3注：
1133?k????c2322c2222(a) 4m???n?4?m??????4m?2?mkk?m?2ck m2mk???(b) ???1??2??e?nxcos?dx?dx??e?nxcos?dxdx ???0?
00???响应的均方值
?x2?Rx?0??
S04m??n23
随机激励力虽然不像白噪声那样理想地在整个频率轴上都有有意义的值，但
通常都有较宽的频带，所以要避开系统的共振频率很难，但可以增大阻尼减小振动，另一方面，为激励起结构的各阶振动选用随机激励是一个好的选择。 响应的自谱
Sx????H????Sf???
2?
S0k?m??j?cS0222??k?m?2???2c2?S0m2??2??n2???2c22
对于小阻尼系统，f?t?为理想宽带，而x?t?变为窄带，所以系统相当于一个滤波器，只将f?t?在固有频率处的谱留下，其余的过滤掉。当输入的功率谱在系统固有频率处有较大的值，则振动加剧，反之较平稳。 激励与响应的互相关
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