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第二讲 等比数列
※基础知识
1．定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比值是同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
an?1?q（n?N?,q为常数，且q?0）?{an}为等比数列 ana或n?q(n?2,q为常数，且q?0)?{an}成等比数列 an?1即
2．通项公式：an?a1qn?1?amqn?m
na1(q?1)??n3．前n项和Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q1?q?4．性质：
（1）a与b的等比中项G?G?ab?G??ab（ab?0） （2）若m?n?p?q,则am?an?ap?aq
特别地，若m?n?2p,则am?an?ap
（3）等比数列{an}的前n项和为Sn (Sn?0)，则Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，?等比数列，公比为q 5．判定方法： （1）定义法：
n22an?1?q（n?N?，q?0是常数）??an?是等比数列； an2n（2）中项法：an?1?an?an?2(n?N?)且an?0??an?是等比数列. （3）通项公式法：an?k?q??an?为等比数列； (k,q为常数）??an?为等比数列。 （4）前n项和法：Sn?k(1?qn)（k,q为常数）※典型例题：
题型一 等比数列的基本计算
例1. （1）求下列等比数列的首项，公比，通项
①??
1，3，9，?，2187 ②1,?1111,,?,?,? 248512（2）已知b1，b2，b3?R，且1,b1,b2,b3,9成等比数列，则bb13?b2的值等于( )
A．12 B．6 C．12或6 D．9
（3）已知等比数列?an?的前三项依次为a?1，a?1，a?4，则an?（ ）
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?3??2??3?A．4??? B．4??? C．4????2??3??2?nnn?1?2? D．4????3?n?1
练习1.（1）已知数列?an?满足3an?1?an?0,a2??(A)?61?3?10 (B)
4,则?an?的前10项和等于 3??11?3?10? (C)3?1?3?10? (D)3?1+3?10? ?92（2）已知等比数列?an?为递增数列,且a5?a10,2(an?an?2)?5an?1,则数列的通项公
式an?______________.
b，c成等比数列，（3）【2015高考广东文】若三个正数a，其中a?5?26，c?5?26，
则b? ．
（4）【2015高考新课标1文】数列?an?中a1?2,an?1?2an,Sn为?an?的前n项和，若
Sn?126，则n? .
题型二 等比数列的性质
例2．（1）在等比数列?an?，已知a1?5，a9a10?100，求a18=_____________.
（2）已知{an}是等比数列，且an?0，a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5?________.
（3）在等比数列?bn?中，b4?3，求该数列前七项之积是_____________.
（4）在正项等比数列{an}中,a5?1,a6?a7?3,则满足a1?a2???an?a1a2?an的2最大正整数n 的值为_____________.
（5）已知Sn为等比数列?an?前n项和，Sn?54，S2n?60，则S3n? .
练习2.（1）若等比数列?an?的各项均为正数，且a10a11?a9a12?2e5，则
lna1?lna2???lna20? 。
（2）已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和，若a2a3?2a1,且a4与2a7的等差中项为
5，则S5= ( ) 4 A．35 B．33 C．31 D．29
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（3）【2015高考浙江文】已知?an?是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1?a2?1，则a1? ，d? ．
（4）【2015高考天津文】已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且
a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.
（I）求{an}和{bn}的通项公式;
（II）设cn=anbn,n?N*,求数列{cn}的前n项和.
题型三：等比数列的判定与证明 例3. （1）已知数列{a2n}的首项a1?3，a2ann?1?a1，n?1,2,3,?．
n?证明：数列{1a?1}是等比数列； n
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练习3.设二次方程anx2?an?1x?1?0(n?N?)有两个实根?和?，且满足
6??2???6??3．
（1）试用an表示an?1；
（2）求证：{a2n?3}是等比数列； （3）当a1?76时，求数列{an}的通项公式．
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