发布时间 : 星期一 文章补充讲义（定）2014更新完毕开始阅读7854ed60fad6195f302ba61a
A. {a}∈P(A) B. {a}?P(A) C. {{a}}∈P(A) D. {{a}}?P(A) 3. 幂集P(P(P(?)))是（ ）
A. {{?}, {?, {?}}}
B. {?, {?}, {?, {?}}} C. {?, {?}, {{?}}, {?, {?}}} D. {?, {?, {?}}}
4. 设A = {x| x<5, x∈N}，B = {x| x<7, x是正偶数}，求A∪B和A∩B. *5. 证明对所有集合A，B，C，如果C?A，则(A∩B)∪C=A∩(B∪C) *6. 假定A和B是E的子集，证明以下各式中每个关系式彼此等价。
(1)A?B,A?B,A?B?B,A?B?A(2)A?B??,A?B,B?A(3)A?B?E,A?B,B?A7. 设A = {a, b, {a, b}, ?}，试问下列集合由哪些元素组成？
(1) A - {a, b} (2) {{a, b}} - A (3) {a, b} - A (4) A - ? (5) A - {?}
*8. 证明下列等式成立。
(1) (A-B)∩B=?
(2) 若A∩B=?则A-B?A
(3) 若A∩B=?则A-B=A
(4) 若A∩B=?且C= A∪B则A=C-B.
9. 设P(A)表示A的幂集，试问下列命题是否成立。
(1) A∈P(A) (2) A?P(A) (3) {A}∈P(A) (4) {A}?P(A)
*10. 证明：
(1) P(A∩B)=P(A)∩P(B) (2) P(A)∪P(B) ?P(A∪B)
(3) 举例说明P(A)∪P(B) ?P(A∪B) 11. 对下列各个C，求∪C和∩C。
(1) C = {?}
(2) C = {?, {?}} (3) C = {{a}, {b}, {a,b}}
12. 设A={a,b}，B={b,c}，试问下列集合由那些元素组成？
(1) A ? {a} ? B *(2) P(A) ? B
2
*(3) (B?B) ? B
练习 1.3
1. 归纳定义由___________，_____________，______________三个条款组成。
2. 归纳定义的前后两个条款保证归纳定义的_________性，第三个条款保证归纳定义的______性。
3. 可以如下归纳定义奇数集合：
条款1：___________________________________________；
条款2：___________________________________________； 条款3：___________________________________________。 *4. 归纳定义∑*（∑*=∑+∪{λ}），令∑={a, b}。 *5. 直接归纳定义形式语言中字尾的概念。
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2矩阵基础
矩阵概念和理论是学习经典数学的基础，又是最有实用价值的数学概念和理论。特别是计算机的广泛应用，它已成为现代各科技领域处理信息的量化和表格化及信息分析处理的强有力的工具。
§2.1 矩阵的概念
2.1.1 关于矩阵的实际例子
先看三个实际例子：
例2.1 设要将某种物质从三个产地A1、A2、A3运往四个销地B1、B2、B3、B4，用aij表示由产地Ai调往销地Bj的物质数量，那么这一调运方案可用下面的表格表示：
销地 数量 产地 A1 A2 A3 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 B1 B2 B3 B4
从调运物质数量来看，这里把十二个数排成三行四列的数表：
?a11? ?a21??a31而调运方案的信息都在此表格中。
a12a22a32a13a23a33a14?a24??， a34???a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1?ax?ax?...?ax?b?2112222nn2 例2.2 考虑线性方程组：?,
......???am1x1?am2x2?...?amnxn?bm把此线性方程组的系数按原来的次序排成如下的系数表：
?a11?a21 ????am1
a12a22???am2???a1n????a2n??,
????????amn?4
?b1??b?2常数项也排成一个表??。有了这两个表，方程组就完全被确定了。
??????bn?例2.3 在平面解析几何中，坐标旋转变换公式为
s?ysin??x'?xco? ?，
y'?xsin??yco?s?显然，新旧坐标之间的关系可通过其系数表： ?s?co???sin?sin?? ?co?s?来表示，称它为坐标旋转变换的旋转变换表。
类似上述的矩形表，在自然科学、工程技术以及经济领域中常常被应用，这种数表在
数学上被称为矩阵。
2.1.2 矩阵的定义
矩阵的一般定义如下：
定义2.1 由mn个数aij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形阵式
?a11?a21 A?????am1a12a22???am2???a1n????a2n??
????????amn?称A为一个m行n列的矩阵，或m?n矩阵。
因为矩阵A中第i行第j列的元素为aij，所以矩阵A常写为A?(aij)m?n。 设矩阵A?(aij)m?n，B?(bij)s?t，若m=s，n=t，且A与B的对应元素相等：aij?bij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n），则称矩阵A 与B 相等，记为A=B。也就是说，两个矩阵完全一样时，才叫做相等。
特别当m=n时，矩阵A?(aij)n?n称为n阶方阵。
当m=1时，即只有一行的矩阵A?[a1,a2,...,an]1?n称为行矩阵或行向量。
?b1??b?2 当n=1时，即只有一列的矩阵B???称为列矩阵或列向量。
??????bm?m?1
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