发布时间 : 星期一 文章正态分布高中数学北师大版选修2-3教学案更新完毕开始阅读791bed1270fe910ef12d2af90242a8956aecaa55
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§6正态分布
[对应学生用书P35]
1．正态分布
?x－μ?21
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示均2σ2σ2π值，σ2(σ>0)表示方差．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．
2．正态分布密度函数满足以下性质 (1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”． (3)正态变量在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%； P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%. 通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有0.3%.
1．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此可把正态分布记作N(μ，σ2)．
2．要正确理解μ，σ的含义．若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2，即μ为随机变量X取值的均值，σ2为其方差．
[对应学生用书P35]
[例1] 设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)．
[思路点拨] 首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特殊区间上的概率值求解． [精解详析] 因为X～N(1,22)， 所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683.
正态曲线及性质
(2)因为P(X≥5)＝P(X≤－3)， 1
所以P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]
21
＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)] 21
＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)] 21
＝(1－0.954) 2＝0.023.
[一点通] 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知， (1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)； (2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
1．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，则P(X＞4)＝( ) 1
A. 51C. 3
1B. 41D. 2
解析：由正态分布密度函数的性质可知，μ＝4是该函数图像的对称轴，∴P(X＜4)＝P(X1＞4)＝.
2
答案：D
2．如图所示，是一个正态分布密度曲线．试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．
解：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，
111
最大值为，所以μ＝20，＝，解得σ＝2.于是概率密度函数的解析式为
2π2π·σ2π
?x－20?2
f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
42π
1
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.
正态分布在实际生活中的应用 [例2] (8分)在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)． (1)试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生大约有多少人？
[思路点拨]
正态确定μ，σ正态分布在三个特求
―→―→―→ 分布的值殊区间上的概率解[精解详析] ∵X～N(90,100)， ∴μ＝90，σ＝100＝
分)
(1)P(70 即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有1 366人． [一点通] 解答此类问题的关键有两个： (1)熟记随机变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值； (2)根据已知条件确定问题所在的区间，并结合三个特殊区间上的概率值求解． 3．一批电阻的阻值X服从正态分布N(1 000,52)(Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为( ) A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂 D．甲电阻箱不可出厂，乙电阻箱可出厂 解析：∵X～N(1 000,52)， ∴μ＝1 000，σ＝5， ∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985， μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015. ∵1 011∈(985,1 015)，982?(985,1 015)． ∴甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂． 答案：C 4．(湖北高考改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0. 求p0的值．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.) 解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50， P(700 (8分) (5分) 11 p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800 22 5．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格的学生占多少？ (2)成绩在80～90之间的学生占多少？ 解：(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70,102)，如图所示，则μ＝70，σ＝10，P(70－10 ∴不及格的学生的比为 1 ×(1－0.683)＝0.158 5， 2 即成绩不及格的学生占15.85%. (2)成绩在80～90之间的学生的比为 1 [P(50 1 ＝×(0.954－0.683)＝0.135 5， 2即成绩在80～90之间的学生占13.55%. 1．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计． 2．因为P(μ－3σ [对应课时跟踪训练?十五?] 2 1． 设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ2)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示，则 有 2． ( )