发布时间 : 星期六 文章五年级 长方体正方体经典例题（精选版！）更新完毕开始阅读793a99bbc77da26924c5b007
五（下）数学第三单元——长方体和正方体
【知识点梳理】
一、 长方体和正方体
1.我们周围许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫立方体）。
※举例：长方体：砖块、箱子……/正方体：魔方、骰子……
2. （1）长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，
相对的2个面完全相同，相对的4条棱长度相等。长方体有12条棱，8个顶点。 （2）相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。
3.正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体有6个面，12条棱，8个顶点，6个面都是正方形，面积都相等，12条棱长度都相等。
4. 正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。我们可以用上图来表示长方体和正方体的关系。
当长方体有两个相对的面是正方形时，其他的4个面是相等的长方形。（在长方体中最多可以有4个相同的面）
5）正方体的6个面都是相等的正方形，12条棱的长度都相等。 6）正方体是特殊的长方体。
二、 表面积
1.长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 ※举例：表面积即为长、正方体展开图总面积。
2.日常生活和生产中，经常需要计算一些长方体或正方体的表面积。
※举例：粉刷房间、贴瓷砖、包装礼盒、油漆水管、制作玻璃鱼缸（求面的大小）…… 3.求长方体、正方体表面积的公式：
S长方体=（长×宽+长×高+宽×高）×2 =2（a·b+a·h+b·h）
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S正方体=棱长×棱长×6 =6a
4.注意：求几个面。当计算长方体的表面积时，有时候需要计算的不需要是6个面，因此需要仔细理解题意，求出需要的面的面积和。
求5个面的面积是：无盖的盒子、箱子等；游泳池的四壁和底面、一个抽屉、一个火柴盒的内盒、一本影集的封套；
求4个面的面积是：一根方柱的涂漆表面、一个盒子四周的商标纸、一个烟囱或通风管或排水管、一个火柴盒的外盒；
三、 体积
1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体和正方体的表面积是指6个面的总面积；体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积（比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积）；一个物体的容积一般都比它的体积小。
※举例：手指尖约占了1立方厘米的空间，即它的体积约为1立方厘米。
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2.计量体积用体积单位，常用的体积单位有：立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm、dm、m。
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※举例：一个粉笔盒的体积约为1 dm。 3. 求长方体、正方体体积的公式：
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V长方体=长×宽×高 V正方体=棱长
3
=a b h =a
=底面积×高 =底面积×高
3
4.在工程上，“1m”的土、沙、石等均简称“1方”。 ※举例：建一游泳池，约要挖土6000方。
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5.体积单位间的进率：1dm=1000 cm 1m=1000 dm※举例：1.36 dm=1360 cm 4.573m=4573 dm
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四、 容积
1.箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
※举例：一个汽车油箱约能容纳40L油，即它的容积为40L。
2.计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
※举例：一个烧杯约能装水500ml。
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3.容积单位间及容积单位和体积单位间的进率： 1L=1000ml 1L=1dm 1ml=1cm
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※举例：520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm=5670cm4.形状不规则的物体可以用排水法求得它们的体积。
※举例：一个烧杯中原有水200毫升，放入西红柿后水位上升至350毫升处，则西红柿的体积就是水
3
面上升的那部分水的体积：350-200=150（ml）=150（cm
五、 补充的知识点
1） 如果将长方体沿平行一个面的方向切下去，那么得到的2个长方体的表面积的和比原来一个大长方
体的表面积多了，多出了切口的2个面，而且分3种情况：一种是多了2个上面或下面；一种是多了2个左面或右面；一种是多了2个前面或后面。（需要考虑表面积增加的最多和最少的情况） 2） 反过来如果将2个相同的长方体粘合在一起，那么也分成3种不同的情况，即粘合的是上下面、左
右面、前后面。
3） 如果将一个长方体沿高削去一块就得到一个正方体，那么正方体的表面积比原先的长方体的表面积
少了一周4个面的面积；并且可以知道原先的长方体就是一个特殊的长方体，肯定有2个相对的面是正方形。
4） 一个正方体的棱长扩大几倍，那么表面积就扩大这个数的平方倍，体积就扩大这个数的立方倍。 5） 等积变形就是指物体的形状发生的变化而体积是相等的，一般有两种情况：一种是锻造，例如把一
个长方体锻造成一个正方体，那么长方体的体积就等于正方体的体积；一种是排水，例如将一个小石块投入水中，石块的体积就等于上升部分水的体积；
6） 将一个正方体分成若干相等的小正方体，在不同位置去掉一块，表面积也有不同的变化：在顶点处
去掉一块，那么表面积不变，在棱上除顶点处去掉一块，那么表面积就多出2个小正方形的面，在一个面上，除掉棱上的一周，中间部分去掉一块，那么表面积多出4个小正方形的面。
【归纳总结】
表一：长方体和正方体的特征
形体 长方体 正方体 相同点 面 棱 顶点 不同点 面的形状 面的面积 棱长 联系 表二：长方体和正方体的计算 类别 表面积 长方体 正方体 长方体 正方体 长方体 正方体 定义 2
常用计量单位 计算方法 体积 容积
【例题精讲】
考点一 长方体与正方体的表面积
【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？
后面上面左面前面下面右面 【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，
左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有
1?1?1?2?2?1?8(个)面．
前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱6?6?6?18(条)．
【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？ 【解析】 9个面，21条棱．
【例 2】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截
取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原
立方体的表面积：10?10?6?600．
【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问
剩下的立体图形的表面积是多少？ 【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面
积不变：50?50?6?15000(平方厘米)．
【例 3】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，
2的长方体，那么它的表面积减少了多少? 【解析】 原来正方体的表面积为5?5?6?150．现在立体图形的表面积减少了前后两个
面中的部分面，它们的面积为(3?2)?2?12，所以减少的面积就是12．
【例 4】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心
位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【解析】 原正方体的表面积是4?4?6?96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是
1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96?4?6?120平方厘米．
【例 5】 用6块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小
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的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？
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【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，
所以表面积为(3?4?3?3?3?4)?2?66(cm2)；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为(18?1?18?2?1?2)?2?112(cm2)
(2)(1) 【例 6】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个
立体图形的表面积． 【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正
方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：5?5?2?50(平方分米)；侧面：5?5?4?100(平方分米)，4?4?4?64(平方分米)．这个立体图形的表面积为：50?100?64?214(平方分米)．
【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2
米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 【解析】 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是12?22?42?21平方米，从上
面观察到的面积是42?16平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是21?4?16?100平方米．
板块二 长方体与正方体的体积
【例 7】 (第四届《小数报》数学竞赛决赛)一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽
为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少? 【解析】 0.078?(1.3?0.3)?0.2(米)．
0.2米?2分米．
1.3?0.3?0.3?0.078?0.039(立方米)．
所以这根木料的高是2分米；算错后，这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方米．
【例 8】 (第六届“华杯赛”决赛口试)某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图
所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙
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