小学数学总复习专题讲解及训练全套 联系客服

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通过观察和计算,我们对路程和时间的关系有两点发现:第一点路程和时间是两种相关联的量,也就是时间变化,路程也随着变化;第二点路程和对应的时间的比的比值(也就是速度)是一定的,有这样的关系: = 速度(一定)。

具备了这两个条件,我们就可以得到结论:行驶的路程和时间成正比例关系;行驶的路程和时间成正比例的量。

点评:判断两种量是不是成正比例,分三步:一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示: = K(一定)。

例2、(判断是否成正比例)

练习本的单价一定,买练习本的数量和总价是不是成正比例?为什么?

分析与解:根据正比例的意义,看两个变量的比值是否一定,如果两个变量的比值一定,那么这两个变量就成正比例,反之,则不成正比例。

买练习本的数量和总价是两种相关联的量,它们与练习本的单价有下面的关系: = 练习本的单价(一定)

所以练习本的数量和总价成正比例。

例3、(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。

(1)图中的点A表示时间为1分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。

(2)连接各点,它们在一条直线上吗?

(3)根据图像判断,列车运行2分半钟时,行驶的路程是多少千米?行驶30千米大约需要几分钟? 路程/千米 42 35 28 21 14

7 ●A 0

1 2 3 4 5 6 7 时间/分

分析与解:根据提供的各组数据描出图像的许多个点,再依次连成直线。路程和时间相对应的数的比值都是7,即速度一定,路程和时间成正比例,图像是一条直线。对照图像,可以根据时间的值估计出路程的值,也可以根据路程的值估计出时间的值,估计时允许有一定的出入。

(1)描点、连线如图。

路程/千米 42 ● 35 ● 28 ● 21 ● 14 ● 7 ●A 0

1 2 3 4 5 6 7 时间/分

(2)在一条直线上,因为路程和时间成正比例,正比例的图像是一条直线。

(3)根据图像,列车运行2分半钟时,行驶的路程是17.5千米;行驶30千米大约需要4.3分钟。

例4、(辨析)圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径成正比例?

分析与解:圆的周长和直径成正比例,而圆的面积和半径却不成正比例。

可列表判断。

圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14,所以圆的周长和直径成正比例。而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的,所以圆的面积和半径不成正比例。 圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径却不成正比例。

例5、(反比例的意义)

下表是王师傅加工一批零件时,每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什么关系?

分析与解:(1)从上表可以看出,表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。(2)从左往右看,每小时加工零件的个数扩大,加工的时间反而缩小;从右往左看,每小时加工零件的个数缩小,加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的量。(3)每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变,如20 × 12 = 240,30 × 8 = 240,40 × 6 = 240……而这个积就是这批零件的总个数。

通过观察和计算,我们发现:每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量,每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化,但无论它们怎么变化,相对应的积是一定的,有这样的关系:每小时加工零件的个数 × 加工的时间 = 零件的总个数(一定)。

所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。

点评:判断两种量是不是成反比例,和正比例一样,分三步:一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的乘积是否一定,进行判断。不要省去任何一步。如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:xy = K(一定)。

例6、(判断是否成反比例)

总产量一定,每公顷的产量和公顷数是不是成反比例?为什么?

分析与解:根据反比例的意义,看两个变量的乘积是否一定,如果两个变量的积一定,那么这两个变量就成反比例,反之,则不成反比例。

每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量,它们与总产量有下面的关系: 每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量(一定) 所以每公顷的产量和公顷数成反比例。

例7、(辨析)和一定,一个加数和另一个加数成反比例。

分析与解:判断两个变量是否成反比例,关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显,和一定,两个加数的积是变化的,所以它们不成反比例。

和一定,一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。

点评:有些相关联的量,虽然也是一种量变化,另一种量也随着变化,但它们不是积一定,也 不是比值一定,它们就不成比例。像这样的还有:人的跳高高度和身高;减数一定,被减数和差等。

例8、(综合题1)

(1)长方形的面积一定,长和宽成反比例吗?为什么? (2)长方形的周长一定,长和宽成反比例吗?为什么?

分析与解:判断时可以用列表的方式列举数据,也可以根据计算的公式来推导。 (1)因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积(一定),所以长和宽成反比例。

(2)长方形的周长 = (长+宽)× 2 ,长方形的周长一定,长+宽的和一定,但不是积一定,所以长和宽不成反比例。

例9、(综合题2)

分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,每两种量的比例关系。 (1)大米的总千克数一定,每天吃的千克数和天数; (2)每天吃的千克数一定,大米的总千克数和天数; (3)天数一定,大米的总千克数和每天吃的千克数。

分析与解:在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,当某一种量一定时,另外两种量可能成正比例关系,也可能成反比例关系。可以根据数量关系式来判断。 (1)因为每天吃的千克数 × 天数 = 大米的总千克数(一定),所以大米的总千克数一定时,每天吃的千克数和天数成反比例。 (2)因为 = 每天吃的千克数(一定),所以每天吃的千克数一定时,大米的总千克数和天数成正比例。

(3)因为 = 天数(一定),所以天数一定时,大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。