发布时间 : 星期六 文章第1章 数学建模与误差分析更新完毕开始阅读79ace8626394dd88d0d233d4b14e852459fb3959
1。与此相反，由于绝对误差有量纲，上例100中两种测量的绝对误差1千克和1米的量纲不同，两者就无法进行比较。 在实际计算中，由于真值x总是无法知道的，因此往往取
?(x)?r*(x)?* （1.5.7）
x作为相对误差的另一定义。
误差，这两种测量的相对误差都是
下面比较?r(x)与?r(x)之间的相差究竟有多大：
*?r(x)??r*(x)??(x)(?1x112)??[?(x)] **xx?x1x(x?r(x))2??(?r(x))2xx*x*x??(?r(x))2
x??(x)1??()(?r(x))21??r(x)??一般地，?r(x)很小，不会超过0.5。这样端是一高阶小量，可以忽略。
11??r(x)不大于2，因此，上式右
?r(x)??r*(x)?2[?r(x)]2??(?r(x))
故可用?r*(x)来代替?r(x)。
相对误差也可用百分数来表示：
?(x)?r*(x)?*?100%
x这时称它为百分误差。
1.6 误差的传播与估计
1.6.1 误差估计的一般公式
在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是些近似值，带有误差，这些数据误差在多次运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差，而确定计算结果所能达到的精度显然是十分重要的，但往往很困难。不过，对计算误差作出一定的定量估计还是可以做到的。下面利用函数泰勒（Taylor）展开式推出误差估计的一般公式。
考虑二元函数y?f(x1,x2)，设x1*和x2*分别是x1和x2的近似值，y*是函数值y的近似值，且y*?f(x1*,x2*)，函数f(x1,x2)在点(x1*,x2*)处的泰勒展开式为：
f(x1,x2)?f(x1*,x2*)?[(?f*?f***)(x1?x1)?()(x2?x2)]?x1?x21?2f*?f**2**?[(2)?(x1?x1)?2()?(x1?x1)(x2?x2) 2!?x1?x1?x2?2f**2?(2)?(x1?x2)]??x2**式中，(x1?x1)??(x1)和(x2?x2)??(x2)一般都是小量值，如忽略高阶小量，则
上式可简化为：
**f(x1,x2)?f(x1,x2)?(?f*?f)??(x1)?()*??(x2) ?x1?x2因此，y*的绝对误差为
?(y)?y?y*?f(x1,x2)?f(x1*,x2*)?(式中，?(x1)和前面?(x2)的系数(?f*?f（1.6.1） )??(x1)?()*??(x2)
?x1?x2?f*?f***和x2对y*的绝对误差增)和()分别是x1?x2?x1长因子，它们分别表示绝对误差?(x1)和?(x2)经过传播后增大或缩小的倍数。 由（1.6.1）可得出y*的相对误差：
?r*(y)???(y)y**1*?(?f*?(x1)?f?(x2))?()*?x1y*?x2y**2*x?f**x?f()??r(x1)?()*??r*(x2)y?x1y?x2 （1.6.2）
**x1?f?f*x2**式中，?(x1)和?(x2)前面的系数*()和*()*分别是x1和x2对y*的相对
y?x2y?x1*r*r误差增长因子，它们分别表示相对误差?r*(x1)和?r*(x2)经过传播后增大或缩小的倍数。
例1.6.1 用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为 V?200?2（伏特)和I?10?0.1（安培),求这个电阻的阻值R，并估算其绝对误差和相对误差。
V解 由欧姆定律，有 R?
I220?22(欧姆) 可以求出R的近似值 R*?10由（1.6.1）可计算R*的绝对误差：
?R*?R*1V*?(R)?()??(V)?()??(I)?*??(V)???(I) 2*?V?II?I?*令V*?220(伏)，?(V)?（伏）；I?10，?(I)?0.1。将它们带入上式，（安）2（安）即可估算出的绝对误差：
1V*1220?(R)?*??(V)?*2??(I)??2??0.1?0.42
I(I)10(10)2因此，R*的相对误差?r*(R)??(R)R*?0.42?0.0191?1.91% 22（1.6.1）和（1.6.2）可推广到更为一般的多元函数y?f(x1,x2,xn)中，只要
***将函数f(x1,x2?,xn) 在点(x1,x2?,xn) 处作泰勒展开，并略去其中的
?(x1),?(x2),?,?(xn)等小量的高阶项，即可得到函数的近似值的绝对误差和相对
误差的估算式分别为：
??f*?（1.6.3） ?(y)???()??(xi)?
?xi?1?i?n?xi*?f**?和 ?(y)???*()??r(xi)? （1.6.4）
?xii?1?y?*rn?f*xi*?f*上两式中的各项()和*()(i?1,2,?xiy?xi,n)分别为各个xi*(i?1,2,,n)对y*的
绝对误差和相对误差的增长因子。
从（1.6.3）和（1.6.4）可知，误差增长因子的绝对值很大时，数据误差在运算中传播后，可能会造成结果的很大误差。凡原始数据xi的微小变化可能引起结果y的很大变化的这类问题,称为病态问题或坏条件问题。
1.6.2 误差在算术运算中的传播
可以利用(1.6.3) 和（1.6.4）对算术运算中数据误差传播规律作具体分析。
（1）加减运算
由(1.6.3) 和（1.6.4）有
?n?n ???xi????(xi) （1.6.5）
?i?1?i?1?n?nxi*及 ???xi???n (1.6.6)
*?i?1?ix?i*ri?1由(1.6.5)可知：近似值之和的绝对误差等于各近似值绝对误差的代数和。
两数x2和x1相减，由(1.6.6)有
**x1x2*??x1?x2??**?r?x1??**?r*?x2?
x1?x2x1?x2*r即 ?*r?x1?x2?**x1x2*?**??r?x1??**??r*?x2? x1?x2x1?x2**当x1，即大小接近的两个同号近似值相减时，由上式可知，这时?r*?x1?x2? ?x2可能会很大，说明计算结果的有效数字将严重丢失，计算精度很低。
因此在实际计算中，应尽量设法避开相近数的相减。当实在无法避免时，可用变换计算公式的办法来解决。
例1.6.2 当要计算3.01?3，结果精确到第五位数字时，至少取到
3.01?1.7349352和3?1.7320508
这样 3.01?3?2.8844?10?3 才能达到具有五位有效数字的要求。如果变换算式：
3.01?3?3.01?30.01??2.8843?10?3
3.01?31.7349?1.7321也能达到结果具有五位有效数字的要求，而这时3.01和3所需的有效位数只要五位，远比直接相减所需有效位数（八位）要少。
例1.6.3 当x很小时，cosx?1，如要求1?cosx的值，可利用三角恒等式
?x?1?cosx?2sin2??
?2?进行公式变换后再来计算。同理，也可把cosx展开成泰勒级数后，按
x2x41?cosx???2!4!
来进行计算。这两种算法都避开了两个相近数相减的不利情况。
（2）乘法运算
由（1.6.3）及（1.6.4）有