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排列组合问题的解题策略
樊晓春 甘肃省泾川县高平中学 744306
摘要：排列组合问题的解法有特殊元素优先法，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，正难问题排除法，多元问题合理分类与准确分步，定序问题除法，大小排列问题字典法，名额分配问题隔板法，复杂问题转换法。 关键字：排列、组合、解题策略
排列组合问题是历年高考必考的内容，题目设置在选择或填空题，虽然分值少，但是也是容易失分的题，下面就简单的介绍几种排列组合问题的解法。
1．特殊元素——优先法：
对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。
例1.用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？
[解析]因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素应优先安排。①当0排在末尾时，有A4个；②当0不排在
111末尾时，有A2个，根据分类计数原理，其中偶数共有30个。 ?A3?A32 例2.1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种?
[解析]优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有3种。剩下的位置由4名学生全排列，有A4种。因此共有3A4?72种不同的排法。 2．相邻问题——捆绑法：
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。 例3.5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有 种。
[解析]将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有A6种排法；而3名老师之间又有A3种排法，故满足条件的排法共有A6A3?726种。 例4.计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成
364463一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？
[解析]把每种画捆绑在一起，看成一个整体，又水彩画较特殊，应优先安排。水彩画放中间，油画和国画放两端有A2种排法。再考虑油画和国画本身可
245全排列，故排列方法共有A2A4A5种。
2 3．不相邻问题——插空法：
对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。
例5.有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种排列次序？ [解析]先将其余6人进行排列，有A6种；再把不相邻的4人分别排在前6人
64形成的7个空隙中，有A7种。所以共有A6种排列次序。 ?A746 例6.有4名男生，3名女生站成一排，任何两名女生彼此不相邻，有多少不同的排法？
[解析]由于要求女生不相邻，应先排男生，有A4种；然后在男生形成的5个空隙中分别安排3名女生，有A5种，所以共有A4?A5种。 4．正难问题——排除法：
对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转换为一个较简单的问题来处理。
例7.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
A、 140种 B、120种 C、 35种 D、 34种 [解析]本题只要选出四个人就行，所以只选而不排，是组合问题，先不考虑附加条件，从7名学生中选出4名共有C7种选法，其中不符合条件的是选出的4人都是男生，即C4=1种。所以符合条件的选法是34种，故选D。
例8.四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种 [解析]首先只要考虑从10个点中任取4个点的取法，有C10种，然后再取掉“共面”的情况：其中一个面内的6个点中任意4点都共面，任取4点有4?C6种；
44443434又每条棱上三点与相对棱的中点共面共有6种；各棱的中点中4点共面的有3种。
44故10个点中4点不共面的取法，共有C10?4?C6?6?3?141种。故选D项。
5．多元问题——合理分类与准确分步：
对于约束条件较多的排列组合问题，可能的情况也较多，可根据结果要求，按元素性质进行分类，按时间发生的连续过程分步，做到分类标准明确、分布层次清楚，不重不漏的原则。
例9．平面上4条平行直线与另5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有 个
[解析]按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步，先在4条平行直线中取两条，有C4种；第二步，再在5条平行线中取两条，有C5种，这样取出的4条
22直线构成一个矩形。根据乘法原理，构成的矩形共有C4?C5?60个。
22 6．定序问题——除法：
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个数的全排列数。(如有n个元素,其中m个元
Ann素的顺序一定,则这个n个元素的排法有m种)
Am小于十位数的共有
例10．由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数
A、 210种 B、300种 C、 464种 D、 600种
15 [解析]若不考虑附加条件，组成的六位数共有A5?A5?600个，而其中个
位数与十位数的两种排法中只有一种符合要求，故符合要求的六位数共有
15A5?A5?300个，故选B项。 2 7．大小排列问题——字典法：
对于数的大小顺序排列问题，可以采用“查字典”的方法，逐位依次确定。 例11．在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有
A、 56种 B、57种 C、58种 D、 60种 [解析]从高位向低位依次考虑，分3类：①当首位是2时，若千位是4、5，
1213则有A2?A2?4个；若千位?A3?12个；若千位是3，百位是4、5，则有A2是3，百位是1，则只有一个数即23154，故当首位是2时，共有12+4+1=17个。②
13当首位是3时，有A4?24个。③当首位是4时，若千位是1、2，则有A2?A3?1212个；若千位是3，百位是1、2，则有A2?A2?4个；若千位是3，百位是5，则
4只有一个数即43512，故当首位是4时，共有12+4+1=17个数。因此满足题意的数共有17+24+17=58个。故选C项。
例12．用0、1、2、3、4五个数组成无重复数字的四位数，若按从小到大排列，3204是第几个数？
[解析]从高位向低位依次考虑，分3类：①当千位是1、2时，有A2?A4?4812个。②当千位是3时，若百位排0、1，有A2?A3?12个；若百位排2时，比3204
13小的仅有3201一个。故比4304小的四位数共有48+12+1=61个，则3204是第62个。 8．名额分配问题——隔板法：
对某些复杂的排列问题，可通过构造相应的模型来处理。
例13.某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少一人，名额分配方案共有多少种？
[解析]处理次类问题一般构造一个隔板模型。取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个空隙中选取9个插入隔板，将18个棋子分隔成10个部分，第i（1≤i≤10）个部分的棋子数对应第i个班级学生的名额，因此分配
9方案的种数与隔板的插入种数相等，即为C17种。
9.混合问题——先选后排法：
对于排列、组合的混合问题，可采取先选取元素，再进行排列的策略。 例14.12名同学合影，站成了前排除4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A、C8A3 B、C8A6 C、C8A6 D、C8A5
[解析]分步确定满足题意的调整方法数：第一步，从后排的8人中任选2人，有C8种不同的方法；第二步，将所选定的2人逐一插入前排，依次有5、6种不同的方法，即将所选定的两人插入前排共有有5?6?A6种方法，由分步计数原理可知，满足题意的不同调整方法种数是C8A6,选C项。 10.复杂问题——转换法：
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