发布时间 : 星期三 文章Boapnew高考数学难点突破 难点39 化归思想更新完毕开始阅读79b0d0e51fd9ad51f01dc281e53a580217fc5058
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七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。
-----啸之记。
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难点39 化归思想
化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.
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1.（★★★★★）一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 .
2.（★★★★★）已知平面向量a=(3–1),b=(,13). 22（1）证明a⊥b;
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2–3)b，y=–ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f(t);
（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f(t)–k=0的解的情况.
［例1］对任意函数f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；
②若x1?D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去.
4x?2 x?149（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的
65现定义f(x)?所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； 不得用于商业用途
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（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围.
命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.
错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.
技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.
解：（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)
∴数列{xn}只有三项，x1?（2）∵f(x)?111,x2?,x3??1 1954x?2?x,即x2–3x+2=0 x?1∴x=1或x=2，即x0=1或2时
xn?1?4xn?2?xn
xn?14x?2，得x＜–1或1＜x＜2 x?1故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈N*） （3）解不等式x?要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2 对于函数f(x)?4x?26?4? x?1x?1若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2
若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2 依次类推可得数列{xn}的所有项均满足 xn+1＞xn（n∈N*) 综上所述，x1∈(1,2) 由x1=f(x0),得x0∈(1,2).
1x2y2［例2］设椭圆C1的方程为2?2?1(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=，且曲线
xabC1与C2在第一象限内只有一个公共点P.
（1）试用a表示点P的坐标；
（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域； （3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个.设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式.
命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.
错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a、b的关系.第（2）问中考生易忽略a＞b＞0这一隐性条件.第（3）问中考生不得用于商业用途
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往往想不起将min{g(a),S(a)}转化为解不等式g(a)≥S(a).
技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.
解：（1）将y=
1代入椭圆方程，得 xx21??1 222abx化简，得b2x4–a2b2x2+a2=0
由条件，有Δ=a4b4–4a2b2=0，得ab=2 解得x=
aa或x=–（舍去） 22故P的坐标为(
a2). ,a22, a(2)∵在△ABP中，｜AB｜=2a2?b2，高为
∴S(a)?124?2a2?b2??2(1?4) 2aa2 a∵a＞b＞0,b=∴a＞
24,即a＞2,得0＜4＜1 aa于是0＜S（a）＜2，故△ABP的面积函数S(a)的值域为(0,2) (3)g(a)=c2=a2–b2=a2–
4 2a44≥2(1?) a2a4解不等式g(a)≥S(a)，即a2–
整理，得a8–10a4+24≥0，即(a4–4)(a4–6)≥0 解得a≤2（舍去）或a≥46. 故f(a)=min{g(a), S(a)}
?24a?2(2?a?46?a???
4?2(1?)(a?46)?a4?
转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化不得用于商业用途
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则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.
应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.
一、选择题
1.（★★★★）已知两条直线l1:y=x,l2:ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0,内变动时，a的取值范围是( )
A.（0，1） B.（
?)23，3） 3C.（
3，1）∪（1，3） D.（1，3） 3Sn4n，?Tn3n?52.（★★★★）等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若
则liman的值为( )
n??bnA.
446 B.1 C. D. 393二、填空题
3.（★★★★）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表示即可）
4.（★★★★★）函数f(x)=x3–3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是 . 三、解答题
5.（★★★★）已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R是参数）. (1)当t=–1时，解不等式f(x)≤g(x);
(2)如果x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围.
6.（★★★★★）已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n∈N*且a1、a2、a3、……、an
构成一个数列{an}，满足f(1)=n2.
（1）求数列{an}的通项公式，并求liman；
n??an?1（2）证明0＜f(
1)＜1. 32
y27.（★★★★★）设A、B是双曲线x–=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的
2中点.
（1）求直线AB的方程； 不得用于商业用途