发布时间 : 星期一 文章南开大学数学竞赛练习题08sxjs1更新完毕开始阅读79c93237a32d7375a41780ef
数学竞赛培训资料(理工)
第一讲 函数与极限
（一）内容要点及重要方法提示
1.不等式与有限和公式:
1. 对n个正数a1,a2,?,an,有n?nn?k?1n1ak?na1a2?an?1n?ak?1k,
式中的三项依次称为这些正数的调和平均数、几何平均数与算术平均数. 2. 对n个实数a1,a2,?,an,有(1n?ak?1k)?21n?ak?1nn2k.
nn3. 对2n个实数a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn,有(?ab)kkk?12?(?a)(?bk2),
2kk?1k?14. 若0≠a>-1,且整数n>1,则有(1?a)n?1?na .
5. 若实数a1,a2,?,an均大于-1且同号,则(1?a1)(1?a2)?(1?an)?1??a.
kk?1n6. 对任意实数x有sinx?x,且等号成立当且仅当x=0 ;若0?x??2,则cosx?7. 0?x??1且n?1时，(1?x)n?1?nx . 8.
122n?1?34?2n?nsinxx〈1.
12n?1?1n). . 9. n?1时,n!?(n210.
?(2k?1)?n. 11.?k?22k?1k?1n2nnn(n?1)(2n?1)6. 12.?k3?k?1n2(n?1)24.
13.
?(2k?1)k?1?n(4n2?1)3. 14.?(2k?1)3?n2(2n2?1).
k?1n2.函数,复合函数与变量替换.
例1.1.设函数f(x) =e，f[?(x)] = 1? x，且?(x)?0，求?(x) . (1990北京理工大学竞赛)
2解. 因1?x?e??x?,ln(1?x)??2(x),于是?(x)?x2ln(1?x) ,其定义域为(??,0] .
3.简单函数方程的求解.一般通过变量替换,从方程得到关于f(x)、f[g(x)]等的方程组,然后解出f(x) . 例1.2.求满足方程f(x?y)?f(x?y)=2f(x)cosy的函数f(x),其中f(0)=a与f(?? 2)=b为已知常数 . 解. 以(x, y)=(0,u),(u??? 2,?? 2),(?? 2, u??? 2)代入原方程,可得含f(u)、f(?u)、f(u??)的方程组
?f(u)?f(?u)?2acosu?f(u??)?f(u)?0,然后解出f(u) = a cos u ? bsin u ,即有f(x) = a cos x ? bsin x . ??f(u??)?f(?u)??2bsinu?4.数列与函数极限的存在准则: (1)夹挤准则. (2)单调有界收敛准则. (3)柯西收敛准则. 例1.3.设x1?2,x2?2?1x1,?,xn?1?2?1xn,?.求证:limxn存在，并求其值.
n??分析.给定数列的奇数项子列单调增加有上界，偶数项子列单调减少有下界，因此两子列均收敛 .对于这种数列仍可应用单调有界准则. 解.首先易见xn?1?0,又计算可得xn?2?xn?xnxn?1x?1(xn?1?xn?1),n?2,3,?,x3?x1?0,
x4?x2?0,因此xn?2?xn与xn?1?xn?1异号,子列{x2n}单调减少有下界2,子列{x2n?1}单调增加有上界3,两子列均收敛,然后由递推式x2n?1?2?limx2n?1?limx2n?1?2,由此推出limxn?1?2 .n??n??n??1x2n?2?1?x22xn2?n1?1两端取极限得
命题1.1. 若limxn?a,则limn??n??1n?xk?1nk?a .
命题1.2.设0?r?1,对?n?N有xn?1?a?rxn?a,a为常数 . 则limxn?a .
n??例1.4. 设x0?0,xn?1?2(1?xn)2?xn,n?N ,求limxn.
n??解.xn?0,n?N. 因xn?1?2?2?22?xnxn?2?12xn?2,据命题1.2得limxn?2 .
n??5.幂指函数f(x)?u(x)v(x)的极限.
命题1.3.在某变化过程中,函数f(x)为无穷小量, g(x) 为无穷大量,limf(x)g(x)=b, 则
lim[1?f(x)]g(x)?eb.
命题1.4. 在某变化过程中, f(x)与g(x), F (x)与G (x)均为等价无穷小(大),且f(x)?0 , g(x)?0,
limg(x)G(x)?A(0?A???),则limf(x)F(x)?A .
例1.5.计算极限lim(1?x)x?1?lnx.
y???解.令y?11?x,则limln(1?x)lnx??[lim(?1y)?lny]?0,故原式=1.
x?1?6.用洛必达法则与泰勒展开式计算极限.
?应用洛必达法则之前应注意: (1)先判断极限是否0型;(2)通过分解、变量的等价替换、析0或?出可成为常数的变量等整理和化简,以便于计算导数; (3)可重复上述步骤. 应用泰勒展开式时需注意分子与分母展开的阶数为各自主部的阶数. 例1.6.设函数f(x)有连续的二阶导数?且limx?0f(x)x?0,f??(0)?4,求lim[1?x?0x?0f(x)xf(x)x]x.
1解.因lim[?x?01xf(x)x]?limx?0x3f?(x)2x?limx?0x?0f??(x)2?2 ,因此lim[1?]?e2.
1x例1.7.若lim(x?0sin6x?xf(x))?0,则lim6?xf2(x)为 ( )
(A) 0 . (B) 6 . (C) 36 . (D) ∞.
解.用sin6x的泰勒展开式,知应选: C . 注.由于f(x)无可微条件,此题不能用洛必达法则 . 7.无穷小、无穷大量阶的比较.
(1)当正整数n??时,以下各无穷大数列的阶由低到高排列为:
logan,n?,n?(0????),an(a?1),n!,nn.
(2)当实数x???时，以下各无穷大量的阶由低到高排列为:
logax,x?,x?(0????),ax(a?1),xx.
(3)当x?0时，下列各无穷小量～x :
1sin x , arcsin x , tan x , arctanx ,aln?). a,lnaloga(1?x),(0?a?1x(4)设?r?0，k为正整数，则x?0时:
kk?1k?n2k1?cos?x～?～?rx , ～ax?ax???ax??ax(a0?0,k?0). x,1??x?101k02r(5)当x??时: a0?a1x???anxn～anxn(n为正整数，an?0). 8.等价无穷小(大)量在极限计算过程中的替换：
命题1.5.设函数f(x)可导，x?0时f(x)～xk,k?1,则f?(x)～kxk?1.
s命题1.6.设在某个变化过程中,无穷小(大)量函数f(x)～axr,g(x)～bx,a≠0≠b, r>0,s>0: (1)若s 命题1.7.在某变化过程中, f(x)、g(x)、F (x)与G (x)均为无穷小(大)量,且f(x)～g(x), F (x)～G (x), g(x)–G(x)≠0,limF(x)=c是不等于1的数或∞,则对任何变量u(x),有 lim[u(x)(f(x)–F(x))]=lim[u(x)(g(x)–G (x))] . 例1.8.当x?0+时,与x等价的无穷小量是 (A)1?exrsf(x)?x. (B)ln11. (C)1?x?1. (D)1?cosx. (2007研招一) ?x?x?ln(1?x)?ln(1?解.ln11?x2?x2cosx?ex),ln(1+x)～x , ?ln(1?x)～x,应选: B . 1例1.9. 计算极限limx2[2x?ln(1?2x)].(2001天津竞赛理工) 解.24. x?0例1.10.设f(x)= ?sinx0sin(x2)dx,g(x)?x3?x4,则当x?0时，( ) (A) f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小. (B) f(x)与g(x)为等价无穷小. (C) f(x)是比g(x)更高阶的无穷小. (D) f(x)是比g(x)更低阶的无穷小. 解.因x?0时f?(x)?sin(sinx)cosx等价于x,g?(x)?3x?4x,知应选: A . 9.运用导数与定积分定义计算极限. 2223{?n}为趋于零的正数数列,求极限:lim例1.11.设函数f(x)在点a可导,{?n}、n??f（a??n）?f（a??n）?n??n. 解.原式=lim[n??f（a??n）?f（a）f（a??n）?f（a）?n??n??n?n?f（a??n）?f（a）?n??n?n??n?],令 ?n?f?(a)?tn,?ntn??nsn?n??nkf（a??n）?f（a）??n?f?(a)?sn,其中limtn?limsn?0,于是 n??n??nnn??nn????tn?sn→0(n→∞) ,原式=f ’(a) . ?nn??n原式=lim[f?(a)?n??],且0??ntn??nsn?n??n?t?s.例1.12.求 limn???k?1nen2kn?nen= . 解.原式= limn???(?1nk?1nken1?e2k)??nex2x01?e1dx?arctanex10 ?arctane??4.10.由包含参数的变量极限求参数的问题. sinax,x?0?1?cosx例1.13.设函数f(x)??,当x?0时的极限存在,求a的值 . 21?x[lnx?ln(x?x)],x?0解.f(0?)??2a ,f(0?)??1,故a?11.曲线的渐近线. 例1.14. 曲线y?1x22. ?ln(1?ex)渐近线的条数为 (A)0 . (B)1 . (C)2 . (D)3 . (2007研招一) 解.曲线有渐近线x=0, y=0 , y=x . 应选:D . 12.多元函数的(多重)极限. 一般通过一元函数的极限来研究二(多)元函数的极限,有时也可利用极坐标来研究二元函数的极限;通过两条不同路径考察函数的变化情况来验证二元函数的极限不存在 . 例1.15.求极限:lim解.显然r?x2?y2x?0,y?0x?y. x2?y2x?yx2?y2?x?y,0??r,因此原式=0 . （二）习题 1.1.填空题: ?x(1)设函数f(x) =ln11?x，则函数f(x?2) + f(1?x)的定义域为 . (2004天津竞赛理工) (2)设对一切实数x和y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且知f(2)?1,则f((3)设f(x)=x?sinx , 则f(x)与其反函数f?112)= . (2003天津竞赛理工) (x)的图象的交点是 . 2(4)设k > 0,且对每个x?0,函数f(x)满足fx?1????x?k,若y?0,则[f(9?y2y2)]12y= . (5)函数y = sin x?sin x??其中? x ???? 2)的反函数为 . (6)在x=0的附近与函数f(x)=sec x的差为x的高阶无穷小的二次多项式为 . (7)设f(x)定义在(??,??)上, a、b为常数, 则曲线y=f(a?2x)?f(b?2x)关于直线x= 对称 . 2