发布时间 : 星期二 文章2014全国数模大赛B题北京一等奖更新完毕开始阅读7acbb2835e0e7cd184254b35eefdc8d377ee143e
图8
我们在距离桌子边缘向内50mm最危险的位置施加竖直向下大小为F1的力，保证桌子不发生侧翻。
我们又根据文献[3]得知所有木材的密度几乎相同，约为0.44~0.5g均值为0.54gcm3cm3，平
，其表现密度因树种不同而稍有不同。下面计算在假设三的条
件下，忽略加工过程中的裁剪，同时折叠桌密度取木材平均密度。于是得到桌子的质量M为
M?g???3cm?L?80cm
我们按照最严格的标准取F?400N，在最危险的位置施加力，使桌子仍然无法侧翻，如图9
图9
在上述方案下，每根木条间隔4cm，最外边的木条位于t?38cm处，此时对应的y?402?382?12.49。于是得到支持点到重心的距离为
d?(L/2?y)2?h2?y
对支持力所在处取力矩，使得桌子无法倾倒，得到以下约束：
F?(40?5?d)?M?d
我们再对桌子进行水平加载测试，如图10
图10
在桌子中心放置重物M'(不超过50kg)，使得在力F2=100N的作用下，保持稳定。可以发现F,F在该种情况下可以忽略。
cd于是，按照相同的方法，对支持力所在处取力矩，使得桌子无法倾倒，得到以下约束：
F2?h?(M?M')?d
至此建立了模型二的关于求解平板尺寸的部分：
?min(M)??F?(40?5?d)?g???3cm?L?80cm?d ?'F?h?(g???3cm?L?80cm?M)?d?2将数据带入求解，得到最优的桌子长度L=166.48cm。
2. 钢筋位置
由问题一分析可知，钢筋所处位置影响木条上开槽的长度，对于每个木条来讲，槽的长度影响该木条的质量，在实际操作中考虑到加工的便捷性，木条上的槽越靠近木条末端，加工时的微小差错就越容易穿透木条，桌腿木条的质量大大受其影响，更容易导致不合格品的产生；且在桌子使用过程中，过于靠近桌腿木条末端的开槽更容易穿透木条，会影响桌子的使用寿命。因此我们选取各个木条末端距离槽的距离的最小值最大时对应的钢筋位置作为其最佳位置。
在上节分析中长方形平板的长和宽参数已给出，因而可进一步得知每根木条的长度，即
lt?83.24?402?t2，
假设钢筋位于最外侧腿长距离木条顶部m分点处，则钢筋所处坐标为
?y??ml2?H2?83.24?l?h3838， ??zh?mH?
??
这时钢筋沿木条距离桌面边缘的距离为
dt??y?h40?t22??z22h，
根据问题一第三节中关于距离dt变化的讨论我们得知当h?70cm时，距离dt取得最大值，此时钢筋位置最靠近各个桌腿木条的末端，对应开槽的最远距离。按照上述分析我们有目标函数：
D?min?lt?dt?，
t??0,38?其中D表示各个桌腿木条末端到槽距离的最小值，它是关于分位点m的一元函数，m的范围m??0,1?为约束条件，求取目标函数的最大值，此时对应的m即描述了钢筋的最佳位置。
针对题目中的情况，我们代入具体数据计算后得到：m?0.46。
还原到实物上，即钢筋最佳位置应该位于距离长方形平板长的中线45cm处。（图8）
3. 开槽长度
根据前两节的分析，我们已经确定出了的钢筋位置，即m?0.46时对应的钢
?yh?17.18cm筋所在直线方程：?，此时，代入钢筋位置沿木条距离桌面边缘的距
z?32.17cm?h离dt，有
dt??0.46l38?h?83.24?l38?40?t2222?2??0.46h?。
2事实上，对于不同木条，即t取不同值时，令h从0cm逐渐增大变化到70cm，此时对应距离dt浮动的大小就确定了相应木条上的槽长。又根据问题一第三节中关于距离dt变化的讨论，我们知道dt是关于h的单调不减函数（除最外侧桌腿木