发布时间 : 星期三 文章「精选」2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数更新完毕开始阅读7ae1c4f4876a561252d380eb6294dd88d0d23db2
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1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学习目标：1.了解复合函数的概念(易混点).2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝
y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[基础自测]
1．思考辨析 (1)函数f(x)＝
1x＋
2是复合函数．( )
1
.( ) 1－x(2)函数f(x)＝ln(1－x)的导数是f′(x)＝
(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．函数y＝A．C．－
6x－6x－
1x－
3
2
的导数是( )
B．D．－
6x－6x－
，
×(3x－1)′
2
32
C [∵y＝∴y′＝－2×＝－
6x－
1x－1x－
323
.] 2
3．函数y＝sinx＋1是由________三个函数复合而成的． [答案] y＝u，u＝v＋1，v＝sin x [合 作 探 究·攻 重 难]
2
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求下列函数的导数． (1)y＝e
2x＋1
复合函数的导数 ；(2)y＝1x－
3
；
3
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sinx＋sin 3x.
【导学号：31062030】
[解] (1)函数y＝e
2x＋1
可看作函数y＝e和u＝2x＋1的复合函数，
uu2x＋1
u∴y′x＝y′u·ux′＝(e)′(2x＋1)′＝2e＝2e(2)函数y＝
1x－
－3
3
.
可看作函数y＝u和u＝2x－1的复合函数，
－3
－4
∴y′x＝y′u·ux′＝(u)′(2x－1)′＝－6u ＝－6(2x－1)＝－
－4
6x－
4
.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝
3
3
－55
＝. uln 2x－1ln 2
(4)函数y＝sinx可看作函数y＝u和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数
y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u·cos x＋3cos v ＝3sinx cos x＋3cos 3x.
[规律方法] 1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤
22
3
[跟踪训练]
1．求下列函数的导数． (1)y＝10
3x－2
；(2)y＝ln(e＋x)；
x2
π?1?(3)y＝2sin?3x－?；(4)y＝.
6??1－2x[解] (1)令u＝3x－2，
2
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u则y＝10，
所以y′x＝y′u·ux′＝10ln 10·(3x－2)′ ＝3×10
3x－2
uln 10.
2
(2)令u＝e＋x，则y＝ln u， 1x2
所以y′x＝y′u·u′x＝·(e＋x)′＝
xu1e＋2xxx2·(e＋2x)＝x2. e＋xe＋xx (3)设y＝2sin u，u＝3x－
π
， 6
π?? 则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos?3x－?. 6?? (4)设y＝u，u＝1－2x，
则y′x＝y′u·u′x＝
(u)
1
′·(1－2x)′＝－u2
×(－2)＝(1－2x) .
复合函数与导数的运算法 求下列函数的导数． ln 3x(1)y＝x；
e(2)y＝x1＋x；
π??π??(3)y＝xcos?2x＋?sin?2x＋?. 2??2??11
[解] (1)∵(ln 3x)′＝×(3x′)＝，
3xx∴y′＝1
2
则的综合应用 xx－
x2
xx －ln 3x1－xln 3x＝＝. xexexx(2)y′＝(x1＋x)′＝x′1＋x＋x(1＋x)′ ＝1＋x＋22
222
x2
1＋x2
2
＝
＋2x1＋x. 2
1＋xπ??π??(3)∵y＝xcos?2x＋?sin?2x＋? 2??2??1
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，
2
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1x?1?∴y′＝?－xsin 4x?′＝－sin 4x－cos 4x·4 22?2?1
＝－sin 4x－2xcos 4x.
2
[规律方法] 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的
2.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.
[跟踪训练]
2．求下列函数的导数．
(1)y＝sin；(2)y＝sinx＋sin x；
3(3)y＝
；(4)y＝xln(1＋x). 1－x【导学号：31062031】
2
1－cos x3
[解] (1)∵y＝，
2
1
2
x33
?cos 2x?12
3?′＝sin x. ∴y′＝?1
?－?33
2??2
(2)y′＝(sinx＋sin x)′ ＝(sinx)′＋(sin x)′ ＝3sinxcos x＋cos x·3x ＝3sinxcos x＋3xcos x. 0－
(3)y′＝＝
1－x1－x1－x. 1－x1－2
1
－x－
21－x－x
2
2
3
2
3
2
3
3
3
3
＝(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′ ＝ln(1＋x)＋.
1＋xx [探究问题] x导数运算法则的综合应用 1．若直线y＝x＋b与曲线y＝e相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？
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