发布时间 : 星期六 文章2016年秋人教新版八年级上《第13章轴对称》单元测试含答案解析更新完毕开始阅读7b59d28fa417866fb94a8e6a
25．如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是
．
【考点】等边三角形的性质． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】由于点B1是△OBA两条中线的交点，则点B1是△OBA的重心，而△OBA是等边三角形，所以点B1也是△OBA的内心，∠BOB1=30°，∠A1OB=90°，由于每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，所以还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合；又因为任意两个等边三角形都相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，由△OB1A1与△OBA的面积比为，求得构造出的最后一个三角形的面积． 【解答】方法一：
解：∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点， ∴点B1是△OBA的重心，也是内心， ∴∠BOB1=30°， ∵△OB1A1是等边三角形， ∴∠A1OB=60°+30°=90°，
∵每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，
∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合，
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10．
如图，过点B1作B1M⊥OB于点M， ∵cos∠B1OM=cos30°=∴
=
=
=
=，即
， =
，
∴=（
）2=，即S△OB1A1=S△OBA=，
同理，可得…，
=（
）2=，即S△OB2A2=S△OB1A1=（）2=
，
∴S△OB10A10=S△OB9A9=（）10=故答案为 方法二：
．
，即构造出的最后一个三角形的面积是．
∵∠AOA1=30°，∠A1OA2=30°，∠AOB=60°， ∴每构造一次增加30°， ∴n=
=10，
∵△OBA∽△OB1A1， ∴
∵S△OBA=1， ∴S△OB1A1=，q=， ∴S△OB10A10=
．
?
，
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度．根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出△OB1A1与△OBA的面积比为，进而总结出规律是解题的关键．
26．已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为
（）n ．
【考点】等边三角形的性质． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABnCn的面积． 【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根据勾股定理得：AB1=
，
×（
）2=
（）1；
∴第一个等边三角形AB1C1的面积为
∵等边三角形AB1C1的边长为∴B1B2=
，AB1=
，
，AB2⊥B1C1，
根据勾股定理得：AB2=， ∴第二个等边三角形AB2C2的面积为
×（）2=
（）2；
依此类推，第n个等边三角形ABnCn的面积为故答案为：
（）n．
（）n．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，
），点A在第一象限且AB⊥BO，点E
是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（ 1 ， ）．
【考点】轴对称的性质；坐标与图形性质；解直角三角形． 【专题】压轴题．
【分析】根据点B的坐标求出OB的长，再连接ME，根据轴对称的性质可得OB=OE，再求出AO的长度，然后利用勾股定理列式求出AB的长，利用∠A的余弦值列式求出AM的长度，再求出BM的长，然后写出点M的坐标即可． 【解答】解：∵点B（0，∴OB=
，
），
连接ME，
∵点B和点E关于直线OM对称， ∴OB=OE=
，
∵点E是线段AO的中点，