发布时间 : 星期三 文章(完整word版)2014年江苏省高考数学试卷答案与解析更新完毕开始阅读7c7fe2c3a517866fb84ae45c3b3567ec112ddc58
∴R=MQ=m=m． ∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m， 则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80， ∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80． 解得：10≤x≤35． ∴当且仅当x=10时R取到最大值． ∴OM=10m时，保护区面积最大． 点评： 本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题． 19．（16分）（2014?江苏）已知函数f（x）=e+e，其中e是自然对数的底数． （1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
3a﹣
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x0+3x0）成立，试比较e1e﹣1
与a的大小，并证明你的结论． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数； x﹣x
﹣x
（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围； （3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论． x﹣x解答： 解：（1）∵f（x）=e+e， ∴f（﹣x）=e+e=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数； ﹣x（2）若关于x的不等式mf（x）≤e+m﹣1在（0，+∞）上恒成立， ﹣xx﹣x即m（e+e﹣1）≤e﹣1， ∵x＞0， ∴e+e﹣1＞0， 即m≤在（0，+∞）上恒成立， x﹣x﹣x﹣xx设t=e，（t＞1），则m≤x在（1，+∞）上恒成立， ∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立， ∴m． x﹣x（3）令g（x）=e+e﹣a（﹣x+3x），
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3则g′（x）=e﹣e+3a（x﹣1）， 当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增， 故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a， 由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x0+3x0）成立， 故e+﹣2a＜0， 即a＞（e+）， 令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1， 则h′（x）=1﹣由h′（x）=1﹣， =0，解得x=e﹣1， 3x﹣x2当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减， 当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增， ∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1）， 注意到h（1）=h（e）=0， ∴当x∈（1，e﹣1）?（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0， 当x∈（e﹣1，e）?（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0， ∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立． ①a∈（（e+），e）?（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ee﹣1a﹣1＜a， e﹣1a﹣1②当a=e时，a=e， ③当a∈（e，+∞）?（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而e＞a． 点评： 本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大． 20．（16分）（2014?江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．
n*
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2（n∈N），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
*
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N）成立． 考点： 数列的应用；等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出． a﹣1e﹣1（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对?n∈N，?m∈N使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出； （3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），
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**可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出． nn﹣1n﹣1解答： 解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2﹣2=2， 当n=1时，a1=S1=2． 当n=1时，S1=a1． 当n≥2时，Sn=an+1． ∴数列{an}是“H”数列． （2）Sn=**=， ， ， 对?n∈N，?m∈N使Sn=am，即取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得∵d＜0，∴m＜2， 又m∈N，∴m=1，∴d=﹣1． （3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1， *对?n∈N，bn+1﹣bn=﹣a1， cn=（n﹣1）（a1+d）， *对?n∈N，cn+1﹣cn=a1+d， 则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列． 数列{bn}的前n项和Tn=令Tn=（2﹣m）a1，则当n=1时，m=1；当n=2时，m=1． ． ， *当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N． **因此对?n∈N，都可找到m∈N，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列． 数列{cn}的前n项和Rn=令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=***， ． ∵对?n∈N，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N． **因此对?n∈N，都可找到m∈N，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列． 因此命题得证． 点评： 本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题． 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】 21．（10分）（2014?江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
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考点： 弦切角． 专题： 直线与圆． 分析： 利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论． 解答： 证明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∵∠B=∠D， ∴∠OCB=∠D． 点评： 本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）（2014?江苏）已知矩阵A=数，若A
=B
，求x+y的值．
，B=，向量=，x，y为实
考点： 矩阵与向量乘法的意义． 专题： 矩阵和变换． 分析： 利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值． 解答： 解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B， ∴， ∴x=﹣，y=4， ∴x+y= 点评： 本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题． 【选修4-3：极坐标及参数方程】
23．（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
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（t为
参数），直线l与抛物线y=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
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