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2019江苏省苏锡常镇四市高三三模考试数学试题及答案
江苏省苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二）
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．
置上． ．．
1． 函数y?x?1的定义域为A，函数y?lg?2?x?的定义域为B，则AIB = ▲ ． 2． 设z?2?i（i是虚数单位），则|z|= ▲ ．
x2y23． 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线??1的一个焦
9m点为（5，0），则实数m = ▲ ．
4． 样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计
样本数据落在[6，10]内的频数为 ▲ ． 5． “??（第4题）
π”是“函数y?sin?x???的图象关于y轴对称”的 2 开始 n ← 1 S ← 0 S > 20 N n ← n ? 1 S ← 2S ? 1 Y （第8题）
▲ 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空）
6． 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1 = ?1，S3 = 6，则S6 = ▲ ．
Y 输出n 结束 17． 函数y??x≥e?的值域是 ▲ ．
lnx8． 执行右面的程序图，那么输出n的值为 ▲ ．
9． 在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数
中随机地抽取一个数记为b，则“10．
a是整数”的概率为 ▲ ． b已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD = 2，将△ABC沿AD折成60°
的二面角，连结BC，则三棱锥C ? ABD的体积为 ▲ ． 11．
直线y = kx与曲线y?2ex相切，则实数k = ▲ ．
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12． 13．
uuuruuuruuuruuuruuuruuur已知平面内的四点O，A，B，C满足OA?BC?2，则OC?AB = ▲ ． OB?CA?3，
已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y?f(x2)?f(k?x)只有一个零点，
则实数k的值是 ▲ ．
x2?y2?2x?2y?2已知x，y?R，满足2≤y≤4?x，x≥1，则的最大值为
xy?x?y?114．
▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．
字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足A = B ? 30°． （1）若c = 1，b?sinB，求B．
1（2）若a2?c2?ac?b2，求sinA的值． 2
16．（本小题满分14分）
如图，正四棱锥P ? ABCD的高为PO，PO = AB = 2．E，F分别是棱PB，CD的中点，Q是棱PC上的点．
（1）求证：EF∥平面PAD； （2）若PC⊥平面QDB，求PQ．
17．（本小题满分14分）
A（第16题）
PEDOBFQCx2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆?y2?1的左、右焦点分别为F ?与F，圆F：
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?x?3?2?y2?5．
uuuuruuuur（1）设M为圆F上一点，满足MF'?MF?1，求点M的坐标；
（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，
证明：点F到直线QT的距离FH为定值．
y
18．（本小题满分16分）
如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上， OA = 10 km，OB = 20 km，C在O的北偏西45° 方向上，CO =52km． （1）求居民区A与C的距离；
（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ <π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．
① 求w关于θ的函数表达式；
北F 'QOHFxPT（第17题）
② 求w的最小值及此时tan?的值．
ECθOAFB（第18题） 2019江苏省苏锡常镇四市高三三模考试数学试题及答案
19．（本小题满分16分）
若存在实数x0与正数a，使x0?a，x0?a均在函数f(x)的定义域内，且f?x0?a??f?x0?a?成立，则称“函数f（x）在x = x0处存在长度为a的对称点”．
（1）设f(x)?x3?3x2?2x?1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x = 1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．
b（2）设g(x)?x?（x > 0），若对于任意x0?（3，4），总存在正数a，使得“函数g(x)x在x = x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1 = 1， Sn?1?an?1． Sn???3n?1an?1（n?N*）
an??（1）若λ = 0，求数列{an}的通项公式；
1（2）若an?1?an对一切n?N*恒成立，求实数λ的取值范围．
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