发布时间 : 星期四 文章全国初中数学竞赛试题(含答案)更新完毕开始阅读7dab6fc211a6f524ccbff121dd36a32d7275c74a
2012年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)
1.如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式. a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|可以化简为( )(A)2c
a (B)2a
2b (C)a (D)a
(第1题图) 2.如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =
b(b ≠0 )的图象有两个交点,x其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).
(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2) 3.如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).
2a?111 (C) (D)
2444.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,
(A)1 (B)
设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ).
(A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .
(第7题图) 7.如图,正方形ABCD的边长为215,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .
x3292
8.如果关于x的方程x+kx+k-3k+= 0的两个实数根分别为x1,x2,那么12012 的
24x2值为 .
9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .
10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为 .
(第10题图) 三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
2011(m?3)x?m?2,当?1?x?3时,恒有y?0;关于x的方11.已知二次函数y?x?程x?(m?3)x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?229.求m的取值范围. 10
12.如图,⊙O的直径为AB,⊙O 1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与⊙O 1交于点D,且OD?CD.点E在OD上,且DC?DE,BE的延长线与⊙O 1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.
(第12题图)
13.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.
Lx2012,满足x1?x2?L?x2012,且14.求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,
122012??L??n. x1x2x2012
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年
全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题 1.C
解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知
b?a?0?c,且b?c,
所以 a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a.
2.D
解:由题设知,?2?a?(?3),(?3)?(?2)?b,所以a?,b?6.
232?y?x,??x??3,?x?3,?3解方程组?得? ?
y??2;y?2.6??y?,??x?所以另一个交点的坐标为(3,2).
注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).
3.D
解:由题设知,1?a?1?a?b?1?2a?b,所以这四个数据的平均数为
1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b, ?44(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 , ?244?4a?2b3?4a?2b1于是 ??.
4444.D
解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数. 由题设
可得
?x?2?n(y?2), ??y?n?2(x?n),消去x得 (2y-7)n = y+4, 2n =
(2y?7)?1515?1?.
2y?72y?7
因为
15为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,
2y?76,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.
5.D
解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以
p0?98910,p1?,p2?,p3?,因此p3最大. 36363636
二、填空题
6.7<x≤19
解:前四次操作的结果分别为
3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.
由已知得 27x-26≤487, 81x-80>487.
解得 7<x≤19.
容易验证,当7<x≤19时,3x?2≤487 9x?8≤487,故x的取值范围是 7<x≤19.
7.8
解:连接DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN,所以
ADANDN2???, BFNFBN12由此得AN?2NF,所以AN?AF.
3在Rt△ABF中,因为AB?2a,BF?a,所以
AF?AB2?BF2?5a,
(第7题) 于是 cos?BAF?AB25. ?AF5由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED??AFB,
?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90o.
25于是 AM?AE?cos?BAF?a,
5245MN?AN?AM?AF?AM?a,
315S?MNDMN4??. S?AFDAF15
又S?AFD?148?(2a)?(2a)?2a2,所以S?MND?S?AFD?a2. 21515