发布时间 : 星期三 文章高中数学竞赛资料-数论部分更新完毕开始阅读7dc94df9910ef12d2af9e756
初等数论简介
绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子：
（1） 证明：对于同样的整数x和y，表达式2x+3y和9x+5y能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞
赛第一题)
（2） ①设n?Z，证明132n?1是168的倍数。
②具有什么性质的自然数n，能使1?2?3???n能整除1?2?3??n？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：n?3321n?n?1对于任何正整数n都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首2221n?4不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）
14n?3届数学竞赛第一题）
（4） 证明：对任何自然数n，分数
（5） 令(a,b,?,g)和[a,b,?,g]分别表示正整数a,b,?,g的最大公因数和最小公倍数，试证：
2a,b,c???a,b,c??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）
a,b?b,c?c,aa,bb,cc,a????????????2这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字：
（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。
这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：
(1)方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解(x,y)的个数是（ ）
A、 0 B、1 C、3 D、无穷多
（2007全国初中联赛5）
（2）已知a,b都是正整数，试问关于x的方程x?abx?如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
（2007全国初中联赛12）
21?a?b??0是否有两个整数解？ 2 1
（3）①是否存在正整数m,n，使得m(m?2)?n(n?1)？
②设k(k?3)是给定的正整数，是否存在正整数m,n，使得m(m?k)?n(n?1)？ （2007全国初中联赛14） （4）关于x,y的方程x2?xy?2y2?29的整数解(x,y)得组数为（ ） A、2 B、3 C、4 D、无穷多
（2009全国初中联赛5） （5）已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数，若b是
关于x的方程(x?a1)?x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根，则b的值为 （2009全国初中联赛8）
3（6）已知正整数a满足192a?191，且a?2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和。
（2009全国初中联赛12）
（7）n个正整数a1,a2,?,an满足如下条件：1?a1?a2???an?2009；且a1,a2,?,an中任意n?1个不同的数的算术平均数都是正数，求n的最大值。
（2009全国初中联赛14） (8)在一列数x1,x2,x3,…中，已知x1?1，且当k?2时，xk?xk?1?1?4(??k?1??k?2???)（取整符号?a???44????表示不超过实数a的最大整数，例如?2.6??2,?0.2??0）则x2010等于（ ） A、 1 B 、 2 C、 3 D、 4 （2010全国初中联赛4） （9）求满足2p2?p?8?m2?2m的所有素数P和正整数m。
（2010全国初中联赛13）
（10）从1,2,…,2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ （2010全国初中联赛14）
（11）设四位数abcd满足a?b?c?d?1?10c?d，则这样的四位数的个数为 （2011全国初中联赛10）
2
3333（12）已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x?ax?b?0的两个根都大1，求a+b+c的值
（2011全国初中联赛11）
（13）若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5其中总有一个整数是素数，求n的最大值。
（2011全国初中联赛13） （14）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：
22a1,a2,…an，例如a1?22?12?3，a2?32?22?5，??那么a2007= （2007福建省高一数学竞赛12）
（15）求最小的正整数n，使得集合{1,2,3,…,2007}的每一个n元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂。
（2007福建省高一数学竞赛14） （16）两条直角边长分别是整数a和b(其中b<1000)，斜边长是b+1的直角三角形有（ ） A、20个 B、21个 C、22个 D、43个
（2008福建省高一数学竞赛5）
（17）设x、y为非负整数，使得x?2y是5的倍数，x?y是3的倍数，且2x?y?99，则7x?5y的最小值为
（2008福建省高一数学竞赛11） （18）正整数a1?a2?…?a12中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则 （2008福建省高一数学竞赛12）
a12的最小值是 a11,2,3,（19）设S?{,…}n（n为正整数），若S得任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25
整除，求n的最大值。 （2008福建省高一数学竞赛17）
123500???????log?log?log?…?log（20）设?x?是不超过x的最大整数，则?3333????????=
（2009福建省高一数学竞赛11）
（21）已知集合M是集合S?{1,2,3,…,2009}的含有m个元素的子集，且对集合M的任意三个元素x,y,z
3
均有x+y不能整除z，求m的最大值。
（2009福建省高一数学竞赛17）
（22）已知a,b,c为正整数，且c?b?a?1，(a?)(b?)(c?)为整数，则a+b+c=
（2011福建省高一数学竞赛12） （23）正整数n?500，具有如下性质：从集合{1,2,…,500}中任取一个元素m，则m整除n的概率是则n的最大值是
（2008福建省预赛12） （24）设f(x)施周期函数，T和1是f(x)的周期且0?T?1，证明：
1c1a1b1，100（1）若T为有理数，则存在素数P，使
1是f(x)的周期； p（2）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列?an?满足1?an?am?0，（n=1,2, …）且每个an都是f(x)的周期 （2008全国高中联赛加试二）
（25）方程x?x??9的实数解事 （其中?x?表示不超过x的最大整数） 2 （2009福建初赛9） （26）设xi??2?1,2?1,i?1,2,…,2010，令S?x1x2?x3x4?…x2009x2010
?（1）S能否等于2010？证明你的结论； （2）S能取到多少个不同的整数值？
（2009福建初赛14）
k（27）设k,l是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m?k，使得Cm与l互素。
（2009全国高中联赛加试三）
23（28）已知集合A?xx?a0?a1?7?a2?7?a3?7，其中ai??0,1,2,3,4,5,6?，i?0,1,2,3，且
??a3?0，若正整数m,n?A，且m?n?2010,m?n，则符合条件的正整数m有 个。
（2010福建预赛6）
4