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河北科技师范学院物理专业试用
量子力学补充习题集
数理系物理教研室 二OO五年八月
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第一章 量子力学的实验基础
1-1 求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。
-2-1?，问这相1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m.s，假设太阳平均辐射波长是5500A当于多少光子？
1-3 一个质点弹性系统，质量m=1.0kg，弹性系数k=20N.m。这系统的振幅为0.01m。若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n为何？若n变为n+1，则能量改变的百分比有多大？
?和2450A?的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v与1.26v。设电子电荷及光速均1-4 用波长为2790A-1
已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。
?的光投射到铝表面，试问：1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev能量，今有波长为2000A（1）由此发射出来的光
电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？
1-6 康普顿实验得到，当x光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x光原来的波长，??为散射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为????????量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角）
1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。
1-8 能量为15ev的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？
1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？
1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。
?2?）所衍射。在什么温度下He原子的衍射才是明显的。 1-11 讨论受热He原子束为简单立方晶格（d?4??mcsin2?2 其中m为电子质
第二章 波函数和薛定谔方程
2-1 设粒子的波函数为?(x,y,z)，求在（x,x?dx）范围内发现粒子的几率。
2-2 设在球坐标系中粒子的波函数可表为：?(?,?,?)。试表出在球壳（?,??d?）中找到粒子的几率。 2-3 沿直线运动的粒子的波函数?(x)?1?ix1?ix2。（1）试将ψ归一化。（2）画出几率分布曲线。（3）在何处最易
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发现粒子，而该处的几率密度为何？
?it??Axe??xe2(x?0)2-4 作一维运动的粒子处在?(x,t)??的状态中，其中λ＞0。（1）将此波函数归一化，试说
?0(x?0)?明如其在t=0时刻归一化了，那么在以后的任何时刻都是归一化的。（2）粒子的几率分布函数为何？ 2-5 判断下列波函数所描写的状态是否定态？（1）?1(x,t)?u(x)e（2）?2(x,t)?u(x)e?iE1?tix?i?Et?v(x)e?iE?tix?i?Et
?iE?t?u(x)e?iE2?t,(E1?E2)（3）?3(x,t)?u(x)e1reikr?u(x)e
2-6 由下列定态波函数计算几率流密度：（1）?1? （2）?2?1re?ikr从所得的结果说明?1表示向外传
播的球面波，?2表示向内（向原点）传播的球面波
2-7如在势能U(r)上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？试说明此变化后为何不能观察到（选择无穷远处的U为零）。
2-8 设体系的波函数为?(x,t)?Ae?ax是怎样的函数？
??????2*2-9 设?1(r,t)和?2(r,t)是薛定谔方程i??????U(r)?的两个解，证明??1?2dt与时间无关。
?t2m22??i?t，式中A，a和w为常数。为使此波函数满足方程（2.2-15），U(x)应
第三章 简单体系定态薛定谔方程的解
3-1 设粒子在无限深方势阱中运，能量的量子数为n，试求：（1）距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子的几率是多少？（2）n取何值在此处找到粒子的几率最大？（3）当n??时，这个几率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？
?，试求：3-2 设原子或分子中的电子可以粗略地看作是一维无限深势阱中的粒子，并设势阱宽度为1A（1）两个
最低能级间的间隔；（2）电子在这两个能级间跃迁时发出的波长。 3-3 试将一维自由粒子的定态波函数eipx/?和e?ipx/?组合成具有确定宇称的波函数。
3-4 对于任意势垒，试证明粒子的反射系数R与透射系数T满足R+T=1， （取E＞U0）
3-5 一束粒子入射在一窄势垒（k2a??1）上，如其垒高U0为粒子动能的二倍时，证明在此情况下粒子几乎完全透射过势垒。
??U0,x?0U(x)?3-6 用以下一维势场模型：来研究金属电子的发射，求E>0时的透射系数D。 ?0,x?0?—3—
?0,x?03-7一势垒的势能为U(x)?? 式中U0，A，a均为正数。试估算A 3-8 对于谐振子的基态ψ0（x），计算粒子在经典振幅以下出现的几率。 3-9 对于谐振子的第一激发态ψ1，（1）求振子出现几率最大的位置；（2）求经典振幅A；（3）计算振子在经典振幅以外出现的几率。 ??,x?0?3-10 设质点为m的粒子在下列势阱中运动，U(x)??1求粒子的能级和波函数。 22m?x,x?0??213-11 将一维谐振子置于额外的均匀力场中，势能成为U(x)?m?2x2?ax，求能级的变化。 2?U1(x?0)?3-12 粒子在势能为U(x)??0(0?x?a) 的势场中运动（U1＜U2），在U1，U2＞E下，求解粒子的能级和波函 ?U(x?a)?2数。 3-13 给定U（x）=–U0δ(x)，求束缚态能级。 第四章 态叠加原理及力学量的算符表示 4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) 3x2ddx22 (2) ( ) (3) 2 n?dx (4) ?i?1 ?(u?v)?R?u?R?v R?(cu)?cR?u ，?具有下列性质：4-2 线性算符R式中C是复数。下列算符哪些是线性的？ R?u?u （3）?u??u??u,??常数（2）B?u?u （4）D（1）AC2*dudx??u(x)??u?1/u（6）L （5）E?e0?pxu(x)dx ?B?)是否厄米算符？ ?,B?都是厄米算符，但A??B?A?B?，试问：??B?A4-3 若A（1）(A?B?)是否厄米算符？ ??B?A（2）i(A4-4 证明下列算符哪些是厄米算符： ddx,iddx,4ddx22,iddx22 ??)??A? （2）(A?B?? ?)??B??A4-5 （1）证明(A??? ??r?x（2）L4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）xp?p??d/dx的情况下，A?不可能有两个以上的逆。又问，算符A??1是什么样的算符？ 4-7 试证明任意一个算符A—4—