发布时间 : 星期六 文章量子力学补充习题集1更新完毕开始阅读7dee22d380eb6294dd886cf9
?x?x)2的本征值。 ?x?x的本征函数和本征值。进而求(p4-8 对于一维运动，求p?有属于本征值为?的本征函数?，且有：k??L?M?和L??和U?M??也是?M??M?L??1，证明V?L4-9 若算符k?的本征函数，对应的本征值分别是??1和??1。 k??x24-10 试求能使e为算符
ddx22?Bx的本征函数的?值是什么？此本征函数的本征值是什么？
2?的一个本征值，那么?2为A?2的一个本征值。一般情况下，设f(?)为?的多项式，则4-11 如果?为线性算符A?)的一个本征值。试证明之。 f(?)便为f(A4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。
?)改变一个常数C时，即U(r?)?U(r?)?C时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能4-13 当势能U(r量本征值改变否？
4-14 一维谐振子的势能U(x)?12m?x，处于?(x)?(?/2?)221/2e122??x222(2?x?1)的状态中，其中
??m?/?，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？
（2）它的动量有没有确定值？
4-15 在时间t=0时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：
?(x,0)?15?0(x)?12?2(x)?C3?3(x) 式中?n(x)是振子的第n个时间无关本征函数。（a）试求C3的数
值。（b）写出在t时的波函数。（c）在t=0时振子的能量平均值是什么？在t=1秒时的呢？ 4-16 证明公式（4.6-8）----(4.6-12) 4-17 证明公式（4.6-6），(4.6-13)，(4.6-14)
?满足下列对易规则：???????n???n??n?1（n为正整数）?,?????1，求证：?????n?4-18 如果算符?。
4-19 参考矢量情况下的斯密特正交化步骤，试阐述由属于同一本征值而并一定正交的本征函数构成正交函数的方法。
4-20 有两个归一化的但不是正交的波函数?1及?2，??1*?2dt??（实数），0???1，试将?1及?2进行叠加组成两个正交归一化的函数?1及?2。
4-21 证明一维谐振子不管处于哪一个定态，它的动量都没有确定值。
4-22 电子在原子大小范围（数量级为10-10m）内运动，试用测不准关系估计电子的最小能量。
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4-23 质量为m，速度为v，能量为E=1/2mv的粒子沿x轴方向运动，其位置测量的误差为?x，设?t??x/v，
试由测不准关系?x??p?12?，导出能量和时间的测不准关系?E??t?12?
4-24 求证力学量x与F( px)的测不准关系((?x)2?(?F)2)1/2??2?F?px
???F?F????,F?i??,F??i?4-25 设F(x,p)是x，p的多项式，证明p ，x ?p?x????????,1?,p?2,r?24-26 计算：?p??r??????r??21???2?,?p,?,?p,? 。
r??r???和A?,B?,B?,C??0,B??0，试计算：?不可对易，A?,C??c?及B?可对易，即A?，但C4-27 设算符A?????????,B?,e?,?A?,f(B??,?A?)? 。其中n为正整数，?为参变量，f为任何可以表示为正幂级数的函数。 ?An??B?和A?,B?,B?,C??0,B??0，试证Glauber公式：?不可对易，A?,C??c?及B?可对易，即A?但C4-28 设算符Ae??B?A?????eee?A?B??1/2C?eee?B?A?1/2C 。
????B?e?B??B??1B??1B??? （提示：?,A?,B?,A?B?,B?,A?e??B?A4-29 证明：eA考虑f(?)?e?BA按λ展开，??2!?????3!???????然后令=1）
?,B?n,B?n?1A?,B?,B?,B?,B?与A?对易，证明A?n?nB?n?1A? ， A??nA? 4-30 设A???????????,B?,B?与A?对易，4-31 设A证明ee?A?B?e??B?,B??1A?A2?? （提示：考虑f(?)?e??Ae??Be??B?)??(A证明dfd??,B?f ，??A??然后积分）
4-32 证明下列几个关于厄米算符的定理：（1）在任何定态下，厄米算符的平均值都是实数。（2）在任何态下。平均值均为实数的算符必为厄米算符。
4-33 证明几个关于一维定态薛定谔方程的定理：（1）对于一维方程（2.2—3.4），如果?1和?2是属于同一个本征值E的两个独立的解，则?1(x)?2(x)??2(x)?1(x)?C(常数)。
(2)对于一维束缚态，所有能级都是非简并的。 (3)对于一维定态问题，如果U(x)为x的偶函数，则任何一个束缚态?E(x)都有一定的宇称性。
4-34 用测不准关系估计原子核中核子（质子和中子）的动能的数量级。曾经设想电子也是原子核的构成单元之一，试利用测不准关系判断这个设想是否正确。
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?的任何一个本征束缚态?,E，证明公式4-35 对于Hnn?H????En???中的任何一个常数，其中?为包含在H（?，m,等等）。
p24-36 对于一维谐振子，证明U?2m
4-37 质量为m的粒子在中心势场U(r)?cln（2）任何两个能级的间隔与质量m无关。
rr0中运动，证明：（1）对所有的束缚态v2相同，并求出v2。
2?,p?,L?,L?,L?2,x,y,z ??p?，下列力学量中哪些是守恒量？H?????2/2m?AL4-38 给定H,p,p,p,Lxyzxyzz?,B?,B?，但A??0，则一般说来，体系的能级是简并的。 4-39 证明定理：设体系有两个守恒量A??4-40 在一维无限深势阱中，已知阱宽为a，试用测不准关系估算零点能。
第五章 表象理论
???(x?(x??x ，p?x??i??,p?x)?F(x,?i??,p?x,F?,p?x)（1）在x表象中的表示为：x)；5-1 试证明算符x ，F
?x?x??i?（2）在P表象中的表示为：x??(x?x?px ，F?,p?x)?F(i? ，p,px)
?p?p?5-2 求线性谐振子哈密顿量表象中的矩阵元。
5-3 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 5-4 求连续性方程
?i?j?(???2m*??t?(x,t)???j?0的矩阵表示。其中?(x,t)??*(x,t)?(x,t) ，
*?????)
?B??0，求：??B?A?,B?,B?满足A?的矩阵表示。?2?B?2?1，且A5-5 设厄米算符A（1）在A表象中，算符A（2）
?,B?的矩阵表示。?的?的本征值和本征函数。在B表象中，算符A（3）在A表象中，算符B（4）在B表象中算符A本征值和本征函数。（5）由A表象到B表象的么正变换矩阵S 。 5-6 已知二阶矩阵A,B满足下列关系：A?0,AA中求矩阵A，B。 5-7 证明：det(S?12??AA?1,B?A?A，试证明B??2?B，并且在B表象
AS)?detA Tr(AB)?Tr(BA) Tr(ABC)?Tr(CAB)?Tr(BCA)，由此说明矩阵的det
及Tr不因表象而异，或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。
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5-8 设矩阵A的本征值为Ai'(i?1,2,?)，令B?eA，其本征值为Bi'(i?1,2?)，证明Bi'?eAi，由此证明
detB?eTrA' 。
5-9 设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。由此证明，两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。
5-10 证明若三个厄米矩阵A，B和C有如下对易关系，AB=BA，AC=CA，BC≠CB， 则A的本征值必有简并。
?2p??5-11 设H??U(r)，证明求和规则?(En?Ek)Xnk2mn2??2/2m
???(r?,p?)为厄米算符，证明在能量表象中下式成立：5-12 设F?(En?Ek)Fnkn?2?12?,H?,F?k kF????5-13 对于线性谐振子，设态矢量v??Cn?0n?v?vv，试证明v中n态的成份为n满足aCn2?nn!ne?n?a???a?a??，其中n?a???v
2?0??的矩阵分别为：L?2?1?和L?的共同表象中，算符L?2及L5-14 设已知在L?xyzx2??0?02?Ly???i2??0?i0i1010??1?，0??0???i?，求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx及Ly对角化。 0??第六章 角动量初步
?是厄米算符 6-1 分别用球坐标和直角坐标证明Lz6-2 试证明：?(r,?,?)?f(r)sin?e?,L?有无确定值。 态时，Lxy3i3??的共同本征函数，并求相应的本征值。说明当体系处于此状?2和L为Lz6-3 设体系处在??C1Y11?C2Y10的状态中，试：（1）将此波函数归一化；（2）求力学量L2的测量值及相应的几率；（3）求力学量Lz的可能值及相应的几率；（4）Lx和Ly的可能值及相应的几率。
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