发布时间 : 星期二 文章量子力学补充习题集1更新完毕开始阅读7dee22d380eb6294dd886cf9
?的共同表象中，算符L的矩阵表示为L??2和L6-4 设在Lyyz?02???i2??0?i0i0???i?，求它的本征值和归一化的本0??征函数，并将它表示成Yl m的线性叠加。
6-5 求粒子处在态Yl m时，轨道角动量的x分量和y分量的平均值Lx和Ly，并证明
(?Lx)2?(?Ly)2??2(l?l?m)
22?的本征态Yl m，求证轨道角动量沿与z轴成θ角方向上的分量的平均值为m?cos?了。 6-6 设体系处于Lz?得到的值为??，求测量6-7 设体系处于某一状态，在该状态中测量力学量L2 得到的值是2?2，测量力学量Lz力学量Lx和Ly的可能值。
6-8 求L2 ，Lx的共同本征函数，限定L2?2?2。 6-9 对于Y11 求Lx的取值及相应的几率。
??????22????)x ??x?L?i?(r?L)x?(L?r6-10 试证明：（1）Lx??????22????) ??（2）Lpx?pxL?i?(p?L)x?(L?px????????????2??????L?)??L?? ??L??2i?p? （2）i?(p?L?p,p6-11 证明： （1）p?L?p??????????1??2???2???2221?22?2?r6-12 证明：L?rp?(r?p)?i?r?p，进而证明 p?2L??2?rrr?r2
?2,L?）的共同本征态Y(?,?)，计算L和L的平均值，以及?L,?L，验证测不准关系。 6-13 对于（Lxyxlmyz26-14 粒子处于状态??C(x?y?2z)e??r2?的平均值；（2）L（3）,??0，C为归一化常数。求（1）L 的取值；z（4）Lx 的可能值及相应的几率。 Lz??的几率；
?2,L?）的共同本征态Yl m ，记为lm，证明6-15 将（L?zm00?rr2lm??m?Y?r002rYlmd??1
?的矩阵。指出从l?0到?2,L?）的共同本征矢作为基矢，写出表示轨道角动量算符L?2,L?,L?和L6-16 运用（Lyzz?l?2的矩阵元。
?2和J?是对角的，即以jm作为基矢的表象中，对j?1的体系写出J?和J?矩阵。 6-17 （1）在Jz??2?,J?,J?的矩阵。 （2）对于（1）中的体系导出Jxyz6-18 （1）已知j?12?2和J?矩阵(见上题)，试求通过变换S?1JS使J?对角化的么正?的表象中的J的体系在Jxzxx—9—
2?J?,J?和J?2的矩阵。 ?是对角的表象中，写出J矩阵S （2）在Jyzx?2,J?,J?2(j?6-19 对于J11z221??????的平方?(m?1)的共同本征态jmj?1,m?1，求)，JJ?J?J2z1122122222的
平均值及J的取值几率分布。（j1?0）
???''?????与J?之和,求证：6-20 设J?J1?J代表两个角动量J（1）jmJjm?1z122?,J?数m是对角化的。（提示：利用J?0） z1?''?（2）jmJjm?1?'?jm?' 。?,J??） （提示：利用Jjm?1J???J1?z1?1?mm?1'?jm?'，即J?对量子jmJ1z1zmm2??????（3）当j?j?1时，jmJ1jm?0
'''6-21 证明（1）cos?Ylm?[(l?m?1)(l?m?1)(2l?1)(2l?3)11]2Yl?1,m?[(l?m)(l?m)(2l?1)(2l?1)1]2Yl?1,m
1（2）sin?Ylm?(?)e{[i?(l?m?2)(l?m?1)(2l?1)(2l?3)]2Yl?1,m?1?[(l?m)(l?m?1)(2l?1)(2l?1)]2Yl?1,m?1}
第七章 中心力场
7-1 对于库仑场证明U?2E,T?E，其中E是总能量。
pr27-2 中心力场U(r)中的经典粒子的哈密顿量为H?2??L222?r1???U(r)，其中Pr?r?P，当过渡到量子力
r学时，Pr要换为Pr?算符？
??111????1??(r?P?P?r)??i?(?r)，试问?i??r?P是否厄米算符？Pr是否厄米2rr?r?rr7-3 设氢原子处于状态?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32?2及L的可R21(r)Y1?1(?,?)，试求氢原子的能量，Lz能值及其几率，并由此求出它们的平均值。
7-4 某类氢原子的波函数表示如下（r以a0为单位）：??281?Z3/2(6?Zr)Zre?Zr/3cos?
（1）通过对?的考察，求量子数n,l和m的数值。（2）从?产生具有相同n,l值，但磁量子数等于m?1的另一个本征函数。（3）当Z?1时，求为?所规定的状态中某电子的最可几r值。
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7-5 氢原子处于基态?(r,?,?)?1?30ra0e，试求（1）r的平均值；（2）最可几半径。
?a7-6 试证明：处于1S，2P和3d 态的氢原子的电子在离原子核距离分别为a0 ,4a0 和9a0 的球壳内被发现的几率最大（a0 为第一玻尔轨道半径）
7-7 氢原子处于基态，（1）求距核二倍玻尔轨道半径以外发现电子的几率。（2）如果我们画一个球面，使得在此球面内发现电子的几率为90% ，那么这个球面的半径是多少？
7-8 如坐标轴绕z轴旋转一个α角，试问氢原子波函数的角度部分Ylm(?,?)将如何变化？此种变化是否观察到？ 7-9 试求出在Y10及Y21态下，电子按角度的分布几率取极大值和极小值的?角。 7-10 试证明：L?6?,Lz???的氢原子中的电子在??45和135方向上被发现的几率最大。
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?,L?2,L?的共同本征态，??R(r)Y(?,?)，求相应的电流密度和磁矩。 7-11 原子中的电子束缚态，作为Hlmz7-12 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示。
7-13 由于发生原子核的?衰变，原子核的电荷突然由Ze?(Z?1)e 。对于衰变前处于原子Z的K层（1S层）的电子，在原子核衰变后仍旧处于原子（Z+1）的K层的几率等于多少？
7-14 粒子在半径为a，高度为h的圆筒中运动，在筒中粒子是自由的，在筒壁及筒外势能为无限大，求粒子的能量本征值及本征函数。
7-15 单价原子中的价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的作用可近似表示为U(r)??esr2??esa0r22,(0????1)，式中es?e4??0，a0为玻尔半径，求价电子的能级，并与氢原子能级
相比较。
7-16 对于类氢原子（核电荷Ze）l?n?1(nr?0)的状态，计算：（1）最可几半径rn （2）平均半径r（3）涨落?r，并将它和r相比较。
7-17 讨论二维氢原子，其中的电子为库仑力束缚于原子核，并限制在一个平面中运动。（1）试求此体系的本征函数和能量本征值。（2）试解释玻尔虽然假设一个平面轨道求解氢原子问题，为什么还能够得与实验一致的能量。 7-18 三维各向同性谐振子势U（r）如下：U(r)?能级和波函数，并讨论能级的简并情况。
7-19 一个电子被限制在一块电介质（无限大）平面的上方（x>0）运动。介质的介电常数为? ，不可穿透。按电像法可求出静电势为U(x)??12m?r ，式中m为粒子质量，?是常数。试求该体系的
22?x,??e24(??1??1)?0，试求电子的能级（E<0）。
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第八章自旋
?8-1 设电子处于?状态，求S与Z轴的夹角。
?2,S??0,(??x,y,z) 8-2 证明S??的本征值分别为S??/2和??/2的本征函数用它们展开。 8-3 ?和?组成正交归一完全系，试将Sxx?2的本征函数，但不是S?的本征函数。 8-4 试证明?和?是Sxx?x??y??z?i 。 8-5 试证明???8-6在“自旋”向下态?中，求Sx和Sy的涨落?Sx，?Sy以及?Sx?Sy 。 ?的本征值和本征函数（取S表象）8-7 求S。 yz?x,??y和??z 的归一化本征函数；??n??1 ，并求相应的本征函数；8-8 （1）在?x表象中求?（2）证明?n???（3）在?n?1态内，求?x?1,?x??1及?z?1,?z??1的几率。
8-9 设电子自旋Z分量为?/2 ，问沿着与Z轴成?角的z'轴方向上，自旋取?/2及??/2的几率为多少？求此方向上自旋分量的平均值。
??的三个分量均反对易的非零二维矩阵。 8-10 证明不存在和?8-11 测得一电子自旋Z分量为?/2 。再测Sx ，可能得何值，各值的几率为多少？平均值为何？ 8-12 设?为常数，证明e?zi???zsin? ?cos??i???????????????????对易的任何矢量算符，证明(???A?8-13 设A,B为和?)?A?B?i??(A?B)
8-14 化简e?zi????e??z?i?? ，??x,y ，?为常数。 0?? i??e?8-15 证明e?i??z?e?i????0?????eB???x ，设t=0时，电子自旋“向8-16 定域电子受到均匀磁场B的作用，B指向x轴方向，磁作用势为H2?c上”，即Sz??2，求t>0时电子自旋Sz??2??的几率和S的平均值。
??和??表示粒子1和2的泡利算符，试求?????的本征值和本征函8-17 对于两个自旋为1/2 的粒子体系，以?1212???2的本征值。 数，并求S—12—