发布时间 : 星期三 文章量子力学补充习题集1更新完毕开始阅读7dee22d380eb6294dd886cf9
8-18 设体系有两个自旋为1/2的非全同粒子组成，粒子1处于S1z??2态，粒子2处于S2x??2态，（1）写出粒
?2的可能测得值及相应的几率。 子1和粒子2以及体系的波函数，（2）求总自旋S8-19 将两个自旋为1/2的粒子组成的体系置于均匀磁场中，设磁场沿Z轴方向，体系哈密顿量与自旋有关部分
??a?????，试求体系能级。 ?1z?b??2z?c?为H12????????8-20 两个自旋1/2的定域非全同粒子的哈密顿量为H?AS1?S，t=0时粒子1自旋“向上”（），粒子S?1z22?2自旋“向下”（S2z?），求t>0时（1）粒子1自旋“向上”的几率；（2）粒子1和2自旋均“向上”的几率；
2??（3）总自旋S=1和0的几率；（4）S1和S2的平均值。 ?1R21(r)?28-21 设氢原子的状态是???3??R21(r)?2??e?e?M??L?S的Z分量平均值。
2mm?Y11(?,?)??（1）求L和S的平均值；（2）求zz?Y10(?,?)??总
8-22 若电子处于d态，试问它的总角动量可以取哪些值？这时轨道角动量矢量和自旋角动量矢量之间的夹角是多少？
8-23 对于三电子体系，求总自旋量子数的取值。 ?x1??x28-24 对于三个电子的自旋函数??x3?x?4:?(1)?(2)?(3):3:3?1/2?1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3))(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3))，
:(?(1)?(2)?(3)?x5:6?1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)?2?(1)?(2)?(3)) ??1/2x:6(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)?2?(1)?(2)?(3))?6?x7:2?1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)) ??1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3))?x8:22求(S1?S2?S3)和S1z?S2z?S3z的本征值。其中第一组构成四重态，对电子1，2和3的任意交换都是对称
???的，第三组对于电子2和3交换为反对称的。
?2?8-25 讨论三电子体系的自旋函数：（1）证明?(1)?(2)?(3)是S和Sz二者的本征函数，确定相应的本征值。（2）
??(S??S??S?)生成对于S=3/2的全部2S+1个本征函数。运用阶梯算符S（3）确定S=1/2的三电子体系的?1?2?3?本征函数。这样的函数必定有多少组？
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第九章 多粒子系的量子力学
12129-1 两个质量为m的全同粒子，在弹性势场中运动，V1?kx1,V2?2（1）写kx2，忽略粒子间的相互作用。
2?用质心坐标X和相对坐标x出体系的总能量算符及单粒子状态的基态和第一激发态（作为一维问题）。（2）将H表示，讨论质心运动和相对运动的特征。（3）如一个粒子处于基态，一个粒子处于第一激发态，写出体系的对称和反对称的轨道波函数，并用质心坐标和相对坐标表示。 9-2 下列波函数中，哪些是完全对称的？哪些是完全反对称的？ ????（1）f(r1)g(r2)?(1)?(2) ，（2）f(r1)f(r2)??(1)?(2)??(1)?(2)?
????2??(r?r)（3）?f(r1)g(r2)?g(r1)f(r2)???(1)?(2)??(1)?(2)?（4）r12 （5）e??(re121?r2)
9-3 设有一体系由两个自旋量子数为3/2的全同粒子组成。问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？
9-4 设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)?12m?r。如果电子之间的库仑能和U（r）相
22比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 9-5 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构造？
9-6 考虑由3个玻色子组成的全同粒子体系。限定单粒子状态只能是??,??和??，试写出体系的所有可能状态波函数。
9-7 考虑在无限深势阱（0 9-8 考虑一个由相同粒子组成的两粒子体系，设可能的单粒子态为?1,?2,?3，试求体系的可能态数目。分三种情况讨论：（1）粒子为玻色子（玻色统计），（2）粒子为费米子（费米子统计），（3）粒子为经典粒子（玻尔兹曼统计） 第十章 微扰论与变分法 ?1210-1 假定类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0(r0~10cm)均匀带电小球，试计算类氢原子基态的能量 一级修正。 —14— ???(x?0,x?a)?a3?10-2 一维势阱的宽度为a，其势能函数为U(x)??0(0?x?,a?x?a)，其中k为常数，把此势阱中的粒 44??k(a?x?3a)?4?4子看成是受到微扰的关在盒子中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。 10-3 一个电荷为e的线性谐振子，处于均匀的弱电场?中，设?沿x的正方向：（1）求体系的能量的二级近似值；（2）求波函数的一级近似。 ?'的作用，微扰矩阵元为10-4 设体系未受微扰作用时仅有两个能级：E1(0)及E2(0)，现在受到微扰HH12?H21?a,H11?H22?b,a、b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。 ''''??10-5 一维非线性谐振子的势能为U(x)?量的一级修正。 12kx2?cx3?dx，若把非谐振项看作微扰，试求基态和第一激发态能 4??10-6 一刚性平面转子，转动惯量为I，电偶极矩为D，处在均匀弱电场?中，电场在转子转动平面上，试求能 量到二级修正。 10-7 把正常塞曼效应中磁场引起的附加项看作微扰，试计算碱金属原子能级En l 的一级修正。 ??10-8 耦合谐振子的哈密顿算符为H2?i?1(?i2p2m?12m?xi)??x1x2，其中?为常数。试用微扰法求其第一激发 22态能量的一级修正。 10-9 在类氢原子中，电子与原子核的库仑作用能为U(r)??2zesr2，当原子核的电荷增加e时，库仑能增加 ???H'esr，试用微扰法计算它引起的能量一级修正，并与严格解比较。 '?(x)?U(x)?Ucos10-10 设电子受到晶格的一维周期势U（x）作用，H02?xa，其中a为晶格常数，可将U （x）看作微扰，无微扰时，电子是自由的，波函数为?(x)?L2e为a的N个离子的晶格长度。试求能量的一级修正。 ?1i(kx?Ekt/?)22，Ek??k/2m，L?Na是间距 10-11 设有自由粒子在长度L的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件?(?2L2L2?nLL2)??(L2)，简并的波函数 取为?1(0)?coskx,?(0)2?sinkx,k?,n?0,1?，设粒子还受一个“陷阱”的作用， ?'(x)??Ue?xH02/a2(a??L)，试用简并微扰论计算能量一级修正。 —15— 10-12 一个粒子在一维无限深势阱中运动，U(x,y)??求基态和第一激发态（是二重简并态）的能量修正。 ?E1(0)?a10-13 设在H表象中，H???b?0?0,??,0?x,y?a其它地方?'??xy(0?x,y?a)， ，若加上微扰HbE2(0)??(a,b为实数)，用微扰论求能量修正（到二级近似），并与严??a?格求解比较。 10-14 求氢原子n=3时的斯塔克分裂。 ?'?10-15 一维谐振子受到微扰H?2m?x(??1)的作用，试求能级的一、二级微扰修正，并与精确解比较。 122210-16设粒子在球对称谐振子势阱U(r)????xyz?扰H'试写出能级和能量本征函数。它受到微m?(x?y?z)中运动， 2222?2??xyz222（1）计算基态的能级移动（准确到?），（2）用微扰后的基态(???1)的作用， 2?（一级近似），计算r。 10-17 将由两个自旋为1/2粒子组成的体系置于沿Z方向的均匀磁场中，与自旋有关的哈密顿量为 ??a??b?H1z2z??试就弱磁场(c??a,b)和强磁场(a,b??c)两种情形，用微扰论计算体系的?c?1??2， 能级（二级近似），并与精确解比较。 ?E1(0)???10-18 设在H0表象中，H的矩阵表示为H??0?*?a0E2b(0)*a??b?，试用微扰求能量的二级修正。 (0)?E3?210-19 试用变分法求谐振子的归一化基态波函数和基态能量，设试探波函数为??ce??x，其中c为归一化常数，?为与x无关的变分参数。 ???10-20 设一个非谐振子的哈密顿量为H?2d222mdx??x，设用简谐振子的波函数?0(x)?4??1/4e122??x2为试探 波函数，?为可调参数，求其基态的能量。 10-21 设氢原子的基态试探波函数为?(?,r)?Ne数，求基态能量并与精确解比较。 ?r/a,10-22 设在氘核中质子与中子的作用势可表示为U(r)??U0e??(r/a0)2,a0??/?es，其中N为归一化常数，?为变分参 22U0?32.7Mev,a?2.16fm(10?13cm)， 取质子与中子的相对运动试探波函数为R(r)?Ne??r/2a，试用变分法求氘核的基态能量和基态半径。 10-23 转动惯量为I，电偶极矩为D的平面转子，置于沿x方向的均匀电场?中，哈密顿量为 —16—