发布时间 : 星期六 文章等价关系习题更新完毕开始阅读7e3726b9f121dd36a32d821f
习题十:等价关系与等价类
1．设R和R是集合A上的等价关系，用例子证明R?R不一定是等价关系。
2．试问由4个元素组成的有限集上所有的等价关系的个数为多少？ 3．给定集合S=｛1，2，3，4，5｝，找出S上的等价关系R，此关系R能够产生划分｛｛1，2｝，｛3｝，｛4，5｝｝并画出关系图。 4．设R是一个二元关系，设S?｛?a,b?|对于某一c，有?a,c??R且?c,b??R｝ ，证明若R是一个等价关系，则S也是一个等价关系。
5．设正整数的序偶集合A，在A上定义的二元关系R如下：??x,y?,?u,v???R,当且仅当
‘
‘
xv?yu，证明R是一个等价关系。
6．设R是集合A上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a，在A中同时也存在一个b，使?a,b?在R之中，则R是一个等价关系。
7．设R1和R2是非空集合A上的等价关系，确定下述各式，哪些是A上的等价关系，对不是的提供反例证明。 a)(A?A)?R1 b)R1?R2 c)R1
d)r(R1?R2)(即R1?R2的自反闭包)。
**
8．设C是实数部分非零的全体复数组成的集合，C上关系R定义为：
2
（a?bi)R(c?di)?ac?0，证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。
9．设?和?是非空集合A上的划分，并设R和R是分别由?和??诱导的等价关系，那么，??细分?的充要条件是R??R。
10．设Rj表示I上的模j等价关系，Rk表示I上的模k等价关系，证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。
11．A，B是全集E的子集，各命题及由这些命题构成的集合X如下所示。 X??p,q,r,s,t,u,v,w,y,z?，其中
‘‘
ccc p: A?B?E; q: A?B?B; r: A?B; s: A?B; t: A?B; ccc u: B?A; v: A?B??; w: A?B?B; y: A?B; z: B?A.
又R是X上的命题间的等价关系，求商集X/R（A表示A的绝对补集）。 12． R为集合X上的二元关系，X??1,2,3,4,5,6,7?，
cR???1,1?,?1,2?,?2,4?,?6,3?,?6,6?,?7,1??，求
（1） R的等价闭包R（即包含R的最小的等价关系）； （2） 求X/R。
13． 设R是集合A上的等价关系，S是A上的对称关系，试问R?S?S?R 是否是
A上的等价关系？若是，请给出证明；若不是，请具体分析它具有哪些性质，并对
不成立的性质举出反例。
14．设R是A上的二元关系，定义S??a,b??c?A,?a,c??R,?c,b??R，证明：若R是A上的等价关系，则S也是等价关系，且S=R。
15． 设R和S是集合A上的关系，证明或否定下面结论：
（1） 若R，S是传递的，则R?S传递的充分必要条件是R?S?S?R； （2） 若R，S是等价关系，则R?S是等价关系的充分必要条件是R?S?S?R。
???~??~????a,b,c???，16． 知R，S是集合A上等价关系，且商集为：A/R??,d,e,g??,f?A/S???a,c??,b,d,g??,f,g??，显然，R?S也是等价关系，先画出R?S有向图，再写
出商集A/R?S。
17．证明定义在实数集合R上的关系S???x,y?x,y?R,???x?y是整数?是一个等价关 3?系。
18. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A??且B??。关系R满足：
??x1,y1?,?x2,y2???R当且仅当?x1,x2??R1且?y1,y2??R2。
试证明：R是A?B上的等价关系。
19. 设N是自然数集合，定义N上的二元关系R：
R??x,y?x?N,y?N,x?y是偶数 （1） 证明R是一个等价关系； （2） 求关系R的等价类；
（3） 试设计一个从N到N的函数f,使得由f诱导的等价关系就是关系R。
??20. 设R是集合A上的一个具有传递和自反性质的关系，T是A上的关系，使得
?a,b??T??a,b??R且?b,a??R, 证明T是一个等价关系。
21. 设R是集合X上的关系，对所有的x,y,z?X来说，如果有xRy和yRz就有zRx，则称关系R是循环关系，试证明：当且仅当R是一个等价关系，R才是自反和循环的。 22. 设R是A上的二元关系，R?1是R的逆关系。证明：R是传递的当且仅当R?1是传递的。
23. 给定X??1,2,3,4,5,6?，R是X上关系，其生成矩阵如下。
?0??0?0 ??0?1??0?01000??00100?00000??
00000?00000??00001??问：ts(R)是否为X上等价关系？如是，写出商集X/ts(R)，如不是，说明原因。（ts(R)是R的对称、传递闭包）
24. 已知集合X上的二元关系R的关系矩阵为：
?0??0?1MR???0?0??1?10010??01000?00000??
00000?00010??00000??求（1）Mt?R?； （2）Mrst?R?。
25. 集合A??1,2,3,4,5,6,7,8?，R为A上二元关系，
R???1,1?,?1,5?,?2,2?,?2,4?,?2,6?,?3,3?,?3,8?,?4,2?,?4,4?,?4,6?,?5,1?,?5,5?,?6,2?,?6,4?,?6,6?,?7,7?,?8,3?,?8,8??。求AR。