发布时间 : 星期一 文章2020-2021学年高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：（二十二） - 不等式选讲含解析更新完毕开始阅读7e4a3013f21dc281e53a580216fc700abb685284
课时跟踪检测（二十二） 不等式选讲
1．(2017·邢台模拟)设函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|. (1)解不等式f(x)≥2；
11
(2)当x∈R,0＜y＜1时，证明：|x＋2|－|x－2|≤＋. y1－y解：(1)当x≥2时，由f(x)≥2，得4≥2，故x≥2； 当－2＜x＜2时，由f(x)≥2，得2x≥2，故1≤x＜2； 当x≤－2时，由f(x)≥2，得－4≥2，无解． 所以f(x)≥2的解集为{x|x≥1}． (2)证明：因为|x＋2|－|x－2|≤4，
1?1111－yy?1??
＋＝?＋?[y＋(1－y)]＝2＋＋≥4?当且仅当y＝时取等号?，
2y1－y?y1－y?y1－y??11
所以|x＋2|－|x－2|≤＋.
y1－y
2．(2017·成都模拟)已知函数f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1. (1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求2a＋b的最小值． 解：(1)当－1≤x＜3时，f(x)＝4； 当x≥3时，f(x)＝2x－2.
?－1≤x＜3，?x≥3，
∴不等式f(x)≤6等价于?或?
4≤62x－2≤6.??
∴－1≤x＜3或3≤x≤4. ∴－1≤x≤4.
∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}．
?4，－1≤x＜3，
(2)由(1)，得f(x)＝?可知f(x)的最小值为4，∴n＝4.
2x－2，x≥3.?
12
∴8ab＝a＋2b，变形得＋＝8.
ba∵a＞0，b＞0，
1?12?1?2a2b?1?
∴2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝?5＋＋?≥?5＋2
8?ba?8?ba?8?2a2b3
当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．
ba89
∴2a＋b的最小值为.
8
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a＋b＝2.证明： (1)(a＋b)(a＋b)≥4； (2)a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a＋b)＝a＋ab＋ab＋b ＝(a＋b)－2ab＋ab(a＋b) ＝4＋ab(a－b)≥4.
(2)因为(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b 3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3＝2＋
a＋b4
3
33
3
2
2
3
2
22
3
32
33
4
4
5
5
6
5
5
6
5
5
3
3
2a2b?9·?＝. ba?8
a＋b4
2
(a＋b)
，
所以(a＋b)≤8，因此a＋b≤2.
1
4．(2017·沈阳模拟)已知函数f(x)＝|x－a|－x(a＞0)．
2(1)若a＝3，解关于x的不等式f(x)＜0；
a2
(2)若对于任意的实数x，不等式f(x)－f(x＋a)＜a＋恒成立，求实数a的取值范围．
211xx
解：(1)当a＝3时，f(x)＝|x－3|－x，即|x－3|－x＜0，原不等式等价于－＜x－3＜，解得2
2222＜x＜6，故不等式的解集为{x|2＜x＜6}．
a
(2)f(x)－f(x＋a)＝|x－a|－|x|＋，
2原不等式等价于|x－a|－|x|＜a， 由绝对值三角不等式的性质， 得|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|＝|a|， 原不等式等价于|a|＜a， 又a＞0，∴a＜a，解得a＞1.
2
2
2
∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．
5．(2017·开封模拟)设函数f(x)＝|x－a|，a<0.
?1?
(1)证明：f(x)＋f?－?≥2；
?x?
1
(2)若不等式f(x)＋f(2x)<的解集非空，求a的取值范围．
2
解：(1)证明：函数f(x)＝|x－a|，a<0，
?1??1?
设f(x)＋f?－?＝|x－a|＋?－－a?
?x??x??1??
＝|x－a|＋?＋a?≥?
?x??
1?1?
x＋＝??＝|x|＋≥2|x|?x?
?1??
x－a＋?＋a??
?x??
1|x|· |x|
＝2(当且仅当|x|＝1时取等号)． (2)f(x)＋f(2x)＝|x－a|＋|2x－a|，a<0.
当x≤a时，f(x)＋f(2x)＝a－x＋a－2x＝2a－3x， 则f(x)＋f(2x)≥－a；
a
当a 2a 则－ 2 a 当x≥时，f(x)＋f(2x)＝x－a＋2x－a＝3x－2a， 2a 则f(x)＋f(2x)≥－， 2 11a?a? －，＋∞则f(x)的值域为??，若不等式f(x)＋f(2x)<的解集非空，则需>－， 222?2?解得a>－1，又a<0，所以－1＜a＜0， 故a的取值范围是(－1,0)． 6．(2017·洛阳模拟)已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象； 14 (2)若a＋b＝1，对?a，b∈(0，＋∞)，＋≥3f(x)恒成立，求x的取值范围． ab －x＋2，x＜－1， ??－3x，－1≤x≤1， 2解：(1)由已知，得f(x)＝? 1 ?x－2，x＞，?2 函数f(x)的图象如图所示． (2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1， 14?14??b4a? ∴＋＝?＋?(a＋b)＝5＋?＋?≥5＋2ab?ab??ab?成立． 14 ∵＋≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立， ab∴|2x－1|－|x＋1|≤3， 结合图象知－1≤x≤5， ∴x的取值范围是[－1,5]． b4ab4a12 ·＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号abab33