发布时间 : 星期六 文章江苏省四校(南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学)2020届高三数学下学期期初调研检测试题更新完毕开始阅读7e9a5492df80d4d8d15abe23482fb4daa48d1d0a
2019 届期初数学学科调研测试试卷
数学 II(附加题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共 2 页,均为解答题(第 21~23 题)。本卷满分为 40 分,考试时间为 30
分 钟。考试结束后,请将答题卡交回。
2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填
写在答题卡上,并用 2B 铅笔正确填涂考试号。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它
位置作答一律无效。如有作图需要,用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。
21.【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题,请.选.定.其.中.两.小.题.,并.在.相.应.的.答.题.区.域.内.作.答.. 若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
A.[选修 4?2:矩阵与变换] (本小题满分 10 分)
已知 m∈R,矩阵 A=
-1 1
的一个特征值为-2.
m 0 (1)求实数 m;
(2)求矩阵 A 的逆矩阵 A-1.
B.[选修 4?4:坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是曲线 E: {x=cosθ, y=2+2cosθ(θ为参数)上的一 点.以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ= 2cosθ,求线段 PC 长的最大值.
C.[选修 4?5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知 x>0,求证:x3+y2+3≥3x+2y.
【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内.作.答.,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0),过点 P(m,0)(m≠0)的直线 l 与
抛
物线
C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 Q,设 →PA = λ→ QA ,→ PB =→μ QB (λ,μ∈R). (1)当 Q 为抛物线 C 的焦点时,直线 l 的方程为 y=1x+1,求抛物线 C 的标准方程;
3
(2)求证:λ+μ为定值.
(第 22 题)
23.(本小题满分 10 分)
设集合 M={1,2,3,…,m},集合 A,B 是 M 的两个不同子集,记|A∩B|表示集合 A∩B 的元 素个数.若|A∩B|=n,其中 1≤n≤m-1,则称(A, B)是 M 的一组 n 阶关联子集对((A,B)与(B,
A
)看作同一组关联子集对),并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 an.
(
1)当 m=3 时,求 a1,a2; (2)当 m=2019 时,求{an}的通项公式,并求数列{an}的最大项.
数学 I 参考答案
一、填空题
1. {2,3} 2.1+2i 3.8 4. 1 5.2
6.
7 7. 3
3 10
8.2π
3
3
12. (-∞,- e ]∪e
,+∞) 13.3
3
[
e e
14. 2+ 2 5
二、解答题
15.(1)因为 cosB=- 5 ,B∈(0,
π), 5
所以 sinB= 1-cos2B= 1-(- 5)25 =2 5.
5
在三角形 ABC 中,
sinA=sin(π-(B+C))=sin(B+C)=sin(B+π)=sinBcosπ+cosBsinπ.
4
4
4
故 sinA=2 5× 2+(- 5)× 2= 10.
5 2 5 2 10
810×
由正弦定理知 AC = BC ,所以 BC=AC·sinA= 10 =2 2. sinB sinA sinB 2
5
5
(2)在三角形 ABC 中,
cosA=cos(π
-(B+C))=-cos(B+π)=-cosBcosπ+sinBsinπ,4 4 4 故 cosA= 5× 2+2 5× 2=3
10.
5 2 5 2 10
因为 cos2A=2cos2A-1=2(3 10)2-1=4,
10 5
sin23A=2sinAcosA=2×3 10× 10=,
10 10 5
因此 cos(2A+π)=cos2Acosπ-sin2Asinπ=4× 2-3× 2= 2.4 4 4 5 2 5 2 10
16.证明:(1)连接 A1B 交 AB1 于 N
9.(0,1) 10. 11. 5
7 7
2
14 6 分
…………………14 分
(2)过 B 作 BP ? B1M ,垂足为 P
平面 AB1M ? 平面B1BCC1 平面 AB1M ? 平面B1BCC1 ? B1M
BP ? 平面 BB1C1C
∴ BP ? 平面 AB1M
AM ? 平面 AB1M
∴ BP ? AM
直四棱柱 ABCD ? A B C D 1 1 1 1 中, BB ? 平面 1 ABCD
AM ? 平面 ABCD
∴ BB1 ? AM
又 BP ? BB1 ? B
BP, BB1 ? 平面 BB1C1C
∴ AM ? 平面 BB1C1C 又 BC ? 平面 BB1C1C ∴ AM ? BC .
…………………14 分17.解: (1)如图,在 ?PAO 中,设 PA ? x ,
l2
则因为 PO ? PA ? 16 ,所以 PO ? 16 ? x ,
北
又因为 AO ? 8 3 , ?BAO ? ? , 所以由余弦定理得:
东?B
x2 ? (8 3)2 ? 2 ? 8 3x cos?? (16 ? x)2 , ……2 分 P?
解得 x ?
4
.
………4 分
l ? ?
?
2 ? 3
1 A O
cos? 当 ?POA ? π
时, (8 3)2 ? (16 ? x)2 ? x2 ,(第 17 题)
解得
x ? 14 2
, 此时, cos? ? 8 3 ? 4 3 .
14 7
π
4 3
设 0 ? ?? 2 ,且 cos? ? 7,则结合 P 位于城市 O 的西北区域内, B 在 l2 上,
且位于 O 北,得? ? ? ? π2
,
………………… ∵直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1B1B 为平行四边形
∴ N 为 A1B 的中点 又 M 为 BC 中点 ∴ MN // A1C 又 A1C ? 平面 AB1M MN ? 平面 AB1M
4
综上,公路 PA 段长关于? 的函数解析式为 PA ? ,? 的取值范围为 (?,
2 ? 3 cos? π
) ,
2
π 4 3
其中, 0 ? ?? ,且 cos? ? . ………………………6 分
2 7
4 π (2)由(1) PA ? ,? ? ? ? ,结合 AO ? 8 3 , ?BAO ? ? , 2 ? 3 cos? 2
1
得开发的三角形区域 PAO 面积: S (?) ? AO ? PA
∴ A1C //平面 AB1M .
…………………6 分
sin?
2 ? 1 2 ? 8 sin ? 2 3 ?4? 3 cos?
? 16 3 sin? ,? ? ? ? π 2 ? 3 cos?
2.
所以 S ?(?) 16 3[cos?(2 3 cos?) 3 sin
?
? ? 2?] (2 ? 32 cos?)
?π 16 3(2 cos??? 3) (2 . ,? ? ? ? ?
3 cos?) 2 2 由π S ?(?) ? 0 ,得? ? π ,因为 cos 3 ? 4 3 ,所以 π
? ?
6 6 2 ? ,
7 6
因此可得下表:
所以,当π π
(?)] ? ? 时,[S ? S ( ) ? 16
3 6
max ,
6 此时, AB ? AO ? 8 3
?
16 , cos π 3
6 2
即开发的三角形区域 PAO 面积最大时,绕城公路 AB 的长为16km .…………14 分??c
? 3 .解:(1)由已知,得 ??? 2 ??b2 ? 1 ?? a ?a2 ? b2 ???a2 ?
c2? 解得 4 ? ??b2
? 1
2 m ∴椭圆 E 的标准方程为: x ? y 2 ? 1.
…………………4 分
?
???
? 0 则 ? x ? ?8 3k 2 ?x1 2
?
1 ? 4k 2 ?? 12k 2 ??4
x x
? 1 2 ? ??
1 ? 4k 2
∴ AB ? 12
2 x ? |k ?
| x ? 12 ? k (x ? x )? 4x x
1 2 1 2 1 2
? 1 ? k 2 16(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 1 ? 4k ? 1 ? 4k AB 中点为 M 的横坐标为 ?4 3k 2
1 ? 4k 2
PM ? 1 ? 1 ) 2 ?4 | 3k 2|
(?
k 1 ? 4k
∴1 2 2
??4 2 3k1
? (? ) 2 | |? 4(1 ??k ) k 1 ? 4k 1 ? 4k 2∴ k ? ?
2
1
11 直线 AB 的方程为 y ? 1 (x 3) 或 y ? 1 (x ?? 3)
? ?
1111
综上:直线 AB 的方程为 y ? 1
1 ? (x 3) ? 或 y ? (x 3) 分 或 y ? 0 . ……………16 11 ?11
19.解:(1)f '(x)=1-m-lnx, 令 f'(x)=0 得:x=e1-m,
x2
所以 f(x)在(0,e1-m)单调增,在(e1-m,+∞)单调减.
所以 f(x)=
1-
)= 1 =1, 得 m=1. ……………3 分
f(e
-
+x0)
18