发布时间 : 星期四 文章2017骞村叏鍥界粺涓�楂樿�冩暟瀛﹁瘯鍗风悊绉戞柊璇炬爣鈪层�愭柊鍝併�?- 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读7eb49989f6ec4afe04a1b0717fd5360cbb1a8d67
m的最小值．
【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论； （2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（1+方面可知（1+）（1+（1+
）…（1+
）＜
，k∈N*．一）＜e，另一
）…
）…（1+
）＞2，从而当n≥3时，（1+）（1+
）∈（2，e），比较可得结论．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0， 所以f′（x）=1﹣=
，且f（1）=0．
所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；
当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，
所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），
若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0矛盾； 所以a=1；
（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1， 所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号， 所以ln（1+
）＜
，k∈N*．
）+…+ln（1+）＜e；
）＞（1+）（1+
）（1+
）=
＞2；
）＜+
+…+
=1﹣
＜1，
一方面，ln（1+）+ln（1+即（1+）（1+
）…（1+
另一方面，（1+）（1+）…（1+
从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），
）…（1+
）＜m成立，
因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+所以m的最小值为3．
【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转
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化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为直线l2的参数方程为P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
，（t为参数），
，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，
【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4； （2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣再与曲线C的方程联立，可得
=0化为普通方程：x+y﹣
=0，．
，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=
【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线l2的参数方程为
，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4； （2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣∴其普通方程为：x+y﹣
=0，
=0，
联立得：，
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∴ρ2=x2+y2=+=5．
．
∴l3与C的交点M的极径为ρ=
【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）
≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集； （2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立， 即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x． 由（1）知，g（x）=
，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，
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2），
∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1； 综上，g（x）max=，
∴m的取值范围为（﹣∞，]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
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