发布时间 : 星期六 文章2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题14 解析几何(2)(解析版)更新完毕开始阅读7ed07cd86d175f0e7cd184254b35eefdc9d31576
专题12 解析几何（2）
解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆．
1．（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切． （1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由． 【解析】（1）∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上， ∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，
设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则 圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d＝又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中， d2+（
2a2，
1|AB|）2＝R2， 22?2a?2即???4?R① ?2?又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R② 由①②解得??a?0?a?4或?，
?R?2?R?6∴⊙M的半径为2或6；
（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上， 设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2， ∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|， ∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4， ∴y2＝4x，
∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线， ∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，
∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），
∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．
2．（2018年）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM＝∠ABN．
【解析】（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2， ∴M（2，2）或M（2，﹣2）， 直线BM的方程：y＝
11x+1，或：y＝﹣x﹣1． 22（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），
?y2?2x联立直线l与抛物线方程得?，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，
?x?ty?2即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，
2?y2?y12?yy??y??yy1?y2??12?2???12??2?y1?y2?2y1y2?2??2?＝0，
则有kBN+kBM＝+＝＝
x1?2x2?2?x1?2??x2?2??x1?2??x2?2?∴直线BN与BM的倾斜角互补， ∴∠ABM＝∠ABN．
x23．（2017年）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
4（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
2x12x2x2【解析】（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y＝上两点，
4442x12x2?4＝1（x1+x2）＝1×4＝1； 则直线AB的斜率为k＝4x1?x244x2（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝，
4可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，
x21再由y＝的导数为y′＝x，
42m21设M（m，），可得M处切线的斜率为m，
42由C在M处的切线与直线AB平行，可得解得m＝2，即M（2，1）， 由AM⊥BM可得，kAM?kBM＝﹣1，
2x12x2?1?1?4即为4＝﹣1， x1?2x2?21m＝1， 2化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0， 即为﹣4t+8+20＝0， 解得t＝7．
则直线AB的方程为y＝x+7．
4．（2016年）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H． （1）求
????；
（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
t2【解析】（1）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），
2p∵M关于点P的对称点为N，
t2x??x?y?y?∴＝，?＝t，
2p22t2∴N（，t），
p∴ON的方程为y＝
px， t2t2与抛物线方程联立，解得H（，2t）
p∴
????＝
y?y?＝2；
p， 2tp∴直线MH的方程为y＝x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2＝0，
2t（2）由（1）知kMH＝∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，
∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．
5．（2015年）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点． （1）求k的取值范围；
uuuuruuur（2）若?????＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0． 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1． 故由2k?3?1k?12＜1，
故当4?74?7＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点． 33（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1， 可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，
4?1?k?7∴x1+x2＝，x?x＝， 12
1?k21?k2∴y1?y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝
4?1?k?12k2?4k?172
?k+k?+1＝，
1?k21?k21?k2uuuuruuur12k2?4k?8由?????＝x1?x2+y1?y2＝＝12，解得 k＝1， 21?k故直线l的方程为 y＝x+1，即 x﹣y+1＝0． 圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径． 所以|MN|＝2．
6．（2014年）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．