发布时间 : 星期六 文章静电场中的电介质习题及答案更新完毕开始阅读7ee9ac5b5beef8c75fbfc77da26925c52cc59183
答：当电容器与电源连接时，电容器将离开电介质。这是因为当考虑电容器边缘效应时两极板外表面也带上等量异号电荷，当其中一极板平面与液面平行时，由于介质极化，该极板电荷所受到的静电力小于另一极板电荷所受到静电力。且二者方向相反电容器整体受一个向上的合力作用。
五、证明题
1、一个半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为，设介质是线性、各向同性和均匀的，相对介电常数为，试证明球心和无穷远处的电势差是：
证明：当时以球心为心，为半径作球面（高斯面） 如图虚线所示，由对称性和的高斯定理得
由得
当时取高斯面如图虚线所示，同理得
取无限远处电势为零，则球心与无限远处的电势差等于球心电势。根据电势与场强的关系得
六、计算题
1、将一个半径为a的均匀介质球放在电场强度为E0的均匀电场中；电场E0由两块带等量异号电荷的无限大的平行板所产生，假定介质球的引入未改变平板上的电荷分布，介质的相对介电常数为εr，
（1）求介质小球的总电偶极矩
（2）若用一个同样大小的理想导体做成的小圆球代替上述介质球（并设E0不变），求导体球上感应电荷的等效电偶极矩。 解：（1）均匀介质球放在均匀电场中将被均匀极化，故只有球面上有极化电荷，设极化电荷面密度为，在球心产生的电场强度为，则球心的场强为 ……① 如图1-1因 ……②
由于余弦分布带电球面在球内产生匀强电场，所以根据对称性可得球内的场强为
……③ 图1-1 其方向与方向相反 所以 ……④
根据与的关系 ……⑤
由④、⑤式得
由极化强度定义得介质球的总电偶极矩为
……⑥
（2）将导体球放在均匀电场中，导体球感应电荷面密度为余弦分布，如图1-2所示设 根据对称性则球内的场强为
……⑦ 其方向与方向相反 由静电平衡条件得
图1-2 ……⑧
在球面上取一电偶极子，电量为偶极子臂为，根据对称性，元电偶极矩为
……⑨
由⑧、⑨式得感应电荷的等效电偶极矩为
2、一圆柱形电介质长为L，其横截面的半径为R，被沿着轴线方向极化，极化强度（k为一常数），设坐标原点O在介质圆柱内左端面的中心，此外无其它电场源，试求： （1）在介质圆柱中心一点的电场强度E和电位移D； （2）在坐标原点O处的电场强度E和电位移D。 解：极化电荷的体密度为
即介质内均匀地分布差负的体极化电荷，在的端面上的极化电荷面密度为
在的端面上的极化电荷密度为
（1）在圆柱中心体极化电荷不产生场，只有在X=L处而极化电荷产生场，根据均匀带电圆盘轴线上的场强公式得
由电位移矢量定义式得中心处的为
（2）在圆柱端部中心的场由体极化电荷和面极化电荷共同产生。在距原点处，取一圆盘，厚度如图所示，其上电量为
圆盘上电荷面密度为
该圆盘在原点O处产生的电场为
体极化电荷在原点O处产生的电场强度为
面极化电荷在原点O处产生的电场强度为
原点处电位移矢量为
3、一块柱极体圆片，半径为R，厚度为t，在平行于轴线的方向上永久极化，且极化是均匀的，极化强为P， 试计算在轴线上的场强E和电位移D（包括圆片内外）。 解： 在垂直x轴的两个外表面均匀带正负面极化电荷，如图所示，其面密度为
对在圆片内任一点而言两表面相当无穷大均匀带电平面，圆片内电场强度为
电位移矢量为
对圆片内外轴线任一点而言，两表面相当于均匀带电圆盘。 在距原点处，正负带电圆盘产生的场强分别为
该处的总电场强度为
因为t很小，用台劳级数将上式在t=0处展开，取前两项 取
则有 所以
电位移矢量为
4、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图如示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为，结外电荷体密度，结内电荷的体分布为式中e为电子电量，k为常数，试求p-n结内电场强度和电势的分布，并画出、和随变化的曲线。 解：建立坐标轴如图4-1所示，在结内距原点处取宽度为的无限大平面，该平面电荷密度为
该带电平面在结内P点产生的场强为
OB区电荷在P点产生的场强为
图4-1
所以
OP区电荷在P点产生的场强为 图4-2 所以
PA区电荷在P点产生的场强为 图4-3 所以
图4-4 由叠加原理得P点的总场强为
场强随变化曲线如图4-3所示 由高斯定理知，结外的场强为
在结内任意点P的电势为
电势随变化曲线如图4-4所示，结内电荷体密度随变化曲线如图4-2所示。
5、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图5-1所示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为，如果电荷的体分布为
n区： （突变结） p区： 式中是常数，为电子数且，其中各为p区和n区的厚度，试求结内电场强度和电势的分布并画出、和随变化的曲线。
解：建立坐标轴，如图5-1所示，在P区内距原点处找一个考察点P，P点的场强由三部分即BO段、OP段和PA段体分布电荷产生的。每一段即可看成是由许多无限大带电平面组成的，其电荷面密度为
图5-1 图5-2 图5-3 由得
图5-4
所以，P点的总场强为
图5-5
取原点电势为零，由电势定义得
在n区内取一点P，如图5-2所示 同理得各段在P点的场强为
所以，P点的总场强为
同理可得P点的电势为
画出、和随变化曲线如图5-3、5-4、5-5所示
6、平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满线性的、各向同性的电介质。介质的相对介电常数εr在一极板处为εrl，线性地增加到另一极板处为εr2。略去边缘效应。 （1）求这电容器的电容C；
（2）当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。 解：（1）建立坐标轴，如图所示 设 ，