发布时间 : 星期日 文章静电场中的电介质习题及答案更新完毕开始阅读7ee9ac5b5beef8c75fbfc77da26925c52cc59183
则 由此得
因此板间任一点的介电常数为
将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成，如图所示，取距坐标原点为，厚度为一个电容元，该电容元的电容为
其倒数为
积分得 所以
(2)作一圆柱形高斯面S，如图中虚线所示，由介质中的高斯定理，得电位移矢量为
由与的关系和根据电位移矢量定义式得，极化强度为
极化电荷体密度为
正极板处的极化强度为
板表面上的极化电荷面密度为
负极板处的极化强度为
板表面上的极化电荷面密度为
7、一半径为a的导体球被内半径为b的同心导体球壳所包围，两球间充满各向同性的电介质，在离球心为r处介质的相对介电常数（A为常数）。如果内球带电荷Q，外球壳接地，试求：
（1）在电介质中离球心为r处的电势；
（2）介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度； （3）介质中极化电荷的总量。 解：（1）根据对称性，以球心为心，为半径在介质内作球面（高斯面），由的高斯定理得 所以
因球壳的电势为零，故有
(2)半径为球面上的极化强度为
该表面上极化电荷面密度为
半径为的球面上的极化强度为
该表面上极化电荷面密度为
半径为球面上的极化强度为
介质内极化电荷体密度为
(3)介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷，即
8、为了使金属球的电势升高而又不使其周围空气击穿，可以在金属球表面上均匀地涂上一层石蜡。设球的半径为1cm，空气的击穿场强为，石蜡的击穿场强为，其相对介电常数为，问为使球的电势升到最高，石蜡的厚度应为多少？其中球的电势之值是多少？ 解：设金属球带电量为Q，由对称性和介质中高斯定理得介质内外的场强为 ……①
……②
取，代入上两式，得介质球壳内外表面的最大场强为 ……③ ……④
由③式和④式联立得 ……⑤ ……⑥
将已知数值代入⑥式得
由电势与场强积分关系得 ……⑦
将代入⑦式得
……⑧
将已知数据代入⑧式得
9、如图所示的圆柱形电容器，内圆柱的半径为R1，与它同轴的外圆筒的内半径为R2，长为L、其间充满两层同轴的圆筒形的均匀电介质，分界面的半径为R，它们的相对介电常数分别为，设两导体圆筒之间的电势差略去边缘效应，求：介质内的电场强度。 解：设充电后，单位长度的电量为，由对称性和介质中的高斯定理得
由与的关系得两介质内的场强分别为 ……① ……②
圆筒之间的电势差为
……③
由③式得导体圆筒电荷的线密度为 ……④
将④式分别代入①式和②式，得介质内的场强分别为
10、为了提高输电电缆的工作电压，在电缆中常常放几种电介质，以减小内、外导体间电场
强度变化，这叫分段绝缘。图中所示是这种电缆的剖面图。若相对介电常数的三种电介质作为绝缘物时，设内部导体每单位长度上带电量为。试求：（1）各层内的电场强度；（2）各层电场强度极大值；（3）在什么条件下，才能使介质内的电场强度保持为常数值？ 解：（1）根据对称性和高斯定理，求得电位移矢量为
根据知，介质中离轴心分别为处的电场强度为
（2）当分别等于时，各层电场强度为极大值，其值为
（3）当时，有
所以常数时，常数
11、平行板电容器的两极板相距为a，极板面积为S，两极板之间填满电介质，绝对介电常数按下列规律变化，x轴的方向与平板垂直，x轴的原点在一块极板内表面上，若已知两极板间电势差为U，略去边缘效应，求电容及束缚电荷分布。 解：在距原点为处取一厚度为的平行板电容器，其元电容为
其倒数为
积分得 所以
极板上的自由电荷 为
由如图虚线所示作高斯面，由高斯定理得板内的电位移矢量为
板内的场强为
板内的极化强度为
在介质表面上，束缚电荷面密度为
在介质表面上束缚电荷面密度为
介质中束缚电荷体密度为
12、一空心的电介质球，其内半径为R1，外半径为R2，所带的总电荷量为Q，这些电荷均匀分布于R1和R2之间的电介质球壳内。求空间各处的电场强度。介质的相对介电常数为. 解：由对称性和高斯定理得
当r>R1时E=0 当时
所以 当时 所以
13、今有A、B、C三导体板互相平行地放置，AB、BC之间的距离均为之间充满相对介电常
数为的介质，AB之间为真空，今使B板带+Q，试求各导体板上的电荷分布。忽略边缘效应。 解：A、B板和B、C板各组成电容器，其电容分别为
取垂直B板的圆柱形高斯面，如图所示，根据高斯定理得
由D的法线连续性 D1=D2=D得
再根据 得
由此可得AB之间和BC之间的电势差为
A、B极板所带电量为
B、C极板所带电量为
由电荷守恒定律知
A 、C板的内侧带-Q/2 电荷，外侧带Q/2电荷。B板两侧各带Q/2电荷。
14、在一块均匀的瓷质大平板表面处的空气中，电场强度为E的大小为220V/cm，其方向是指向瓷板且与它的表面法线成角。设瓷板的相对介电常数，求：（1）瓷板中的场强；（2）瓷板表面上极化电荷面密度。
解：均匀极介板内无极化电荷，设表面上极化电荷的面密度为，如图13-1所示。 在板内，极化电荷产生的电场强度为 ……①
式中为表面外法线方向上的单位矢量 根据场强叠加原理，板内的电场强度为
以上三者关系如图13-2所示，由图可知 ……②
极化电荷电密度为 图13-1
整理上式得 ……③
将已知数据代入③式得 图13-2
15、在相对介电常数为的煤油中，离煤油表面深度h处，有一带正电的点电荷q，如将煤油看作为无限大均匀介质，：求（1）在煤油表面上，该电荷的正上方A点处的极化电荷面密度；（2）在煤油表面与点电荷相距r处的B点的极化电荷面密度；（3）煤油表面极化电荷的总量。 解：（1）在点电荷q的周围将出现负的极化电荷，煤油表面出现正的极化电荷。（如图）在煤油表面A点，极化电荷面密度最大，随着离A的距离增加，极化电荷面密度迅速减少，A点附近的液面两边的场强法向分量，可用叠加原理求得 在空气中 在煤油中
由边界条件，即，得
整理上式得