发布时间 : 星期四 文章2013年高考数学总复习精品资料10立体几何初步更新完毕开始阅读7f19017e7fd5360cba1adbcd
过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 4．点到平面距离
过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离． 5．直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离． 典型例题 例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为?ABC的垂心．求证：OG?平面ABC．
证明：∵OA、OB、OC两两互相垂直
A ∵OA⊥平面OBC ∴OA⊥BC 又G为△ABC的垂心
O ∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面OAG
G B ∴BC⊥OG
同理可证：AC⊥OG 又BC∩AC＝C
C
∴OG⊥平面ABC 变式训练1：如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF．
S
BC?AB?证明：(1) ??BC⊥面SAB F
BC?SA?(2) 由(1)有(3) 由(2)有
BC?AE??AE?SB?AE?SC??AF?SC??AE⊥面SBC
SC⊥面AEF?SC⊥EF
E
A
B
C
?例2 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点． (1) 求证：MN⊥CD；
(2) 若?PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．
证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于R
P
∵N为PC中点 ∴NO为△PAC的中位线 NO∥PA 而PA⊥平面ABCD ∴NO⊥平面ABCD
N A ∴MN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形
D
M M为AB中点，O为AC中点 ∴MO⊥CD
B ∴CD⊥MN C
(2) 连NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA 又O为MR的中点，且NO⊥MR
∴△MNR为等腰三角形 且∠NRM＝∠NMR＝45° ∴∠MNR＝90° ∴MN⊥NR 又MN⊥CD ∴MN⊥平面PCD
变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB． 求证：① ABCD是正方形；② PC⊥BC． 证明：略
例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中
P 点．
(1) 求证：EF⊥平面PAB； (2) 设AB＝
2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．
C
E B
F
D A
(1) 证明：连结EP．∵PD⊥底面ABCD，DE在
平面ABCD中，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC， ∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE ∵F为PB中点，∴EF⊥PB．
由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA， ∴EF⊥FA．
∵ PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB． (2) 解：不防设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝
2，PA＝
2，AC＝
3．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB
＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF． ∠GAH为AC与平面AEF所成的角．
由△EGC∽△BGA可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝AC＝
233112233．
由△EGH∽△BGF可知GH＝BF＝
3311∴sin∠GAH＝
GHAG?36
36∴AC与面AEF所成的角为arc sin．
2变式训练3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，?BAD＝?BDC＝90°，AB＝AD＝3＝2CD．求： (1) 求AC的长；
(2) 求证：平面ABC⊥平面ACD； (3) 求D点到平面ABC的距离d．
A 解：(1)
30，BC
(2)略．
113(3)因VA－DBC＝(DC×BD)×OA＝6
32，
B
D C 655又VD－ABC＝(AB×AC)×d＝
321115d，
.
VA－BCD＝VD－ABC，则
15d＝6
3，解得d＝
例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP． (1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；
C1 D1 (2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H?AP；
O A1 B1 (3) 求点P到平面ABD1的距离．
H 417P 答案： (1) ∠APB＝arctan
17D C (2) AP在面AC上的射影为AC 又AC⊥BD
∴PA⊥BD 而BD∥B1D1 ∴B1D1⊥AP
B A
而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H ∴D1H⊥AP
(3) 面ABD1⊥面BC1 过P作PM⊥BC1于M 则PM＝322
变式训练4：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H． (1) 求证H是△ABC的垂心； (2) S?ABV?S?ABHS?ABC．
(1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点， ∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V，
∴VA⊥VBC面，又BC?VBC面，∴BC⊥VA． ∵VH⊥ABC面，BC?ABC面，
∴BC⊥VH，又VA∩VH＝A，∴BC⊥VHA面． 又AD?VHA面，∴AD⊥BC，同理可得CE⊥AB， ∴H是△ABC的垂心．
(2) 连接VE，在Rt△VEC中，VE2＝EH×EC
142V
C A E H B D AB2×VE2＝AB2×EH×EC，
412即S?ABV?S?ABHS?ABC．
小结归纳 线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；
(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若?∥?，a⊥?则a ⊥?
第5课时 三垂线定理
基础过关
1．和一个平面相交，但不和这个平面
的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．
2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影； (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ． 垂线在平面上的射影只是 ．
直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线． 3．如图，AO是平面?斜线，A为斜足，OB⊥?，B
O
为垂足，AC??，∠OAB＝?，?BAC＝?，
12B A ∠OAC＝?，则cos?＝ ．
C 4．直线和平面所成的角
平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角．
斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ． 5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂
直．
逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直． 典型例题 例1. 已知Rt?ABC的斜边BC在平面?内，A到?的距离2，两条直角边和平面?所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD和平面?所成的角； (2) 点A在?内的射影到BC的距离． 答案：(1) 60° (2)233
变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度．
A 解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝103
例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1 分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿 BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1?BC1；
A2 B1 C1
求证：A2C?A1B1．
B C D A2
B1 C1
解：取A2B1中点D1 ∵A2C1＝B1C1 ∴C1D1⊥A2B1 A1 B C 又A1A2⊥面A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2
A1 C
∴C1D1⊥面A1A2B1B ∴BD1是BC1在面A2B上的射影
B 由A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1
取A1B中点D 同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影 ∵A2DBD1 ∴A2DBD1是平行四边形 由BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D ∴A2C⊥A1B1
变式训练2：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长
29，设这条最短路线与CC1交点N，求：
C1
B1
N P
C
(1) PC和NC的长； A1 (2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小． 解：将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面 M AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，
连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线
A
设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得x＝2 ∴PC＝P1C＝2 ∵
NCMA?P1CP1A?25B
∴NC＝
54(2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角) 在Rt△PHC中 ∵∠PCH＝1∠PCP1＝60°
2