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内蒙古财经大学本科学年论文
行列式的若干种计算方法
作 者 姚淑娟 系 别 统计与数学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2009级
学 号 902094131 指导教师 李明远 导师职称 讲师
内 容 提 要
行列式在数学中是一个函数,其定义域为n?n的矩阵A,取值为一个标量,写作
det(A).行列式是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,而且在其它学科中
也会经常遇到.例如在初等代数中,为了求解二元和三元线性方程组,而引入了二阶和三阶行列式.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻.本文介绍了计算行列式的重要方法有画三角形法,初等变换法,将行列式按行或按列展开法,加边法或升阶法,事实上,这四种方法的解题思路都是根据行列式的性质,将行列式化为上三角行列式或者下三角行列式.另外一类重要的方法就是根据拉普拉斯（Laplace）定理计算行列式,拉普拉斯定理引入了k阶子式和代数余子式的概念,使得计算行列式变得更加简便.而范德蒙德（Vandermonde）行列式只适用于满足条件的行列式才可以用,有一定的局限性.
关键词: n级行列式 初等变换 降阶法 拉普拉斯（Laplace）定理
范德蒙德（Vandermonde）行列式.
目 录
一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法 .................................................................................... 1
(一)解二阶行列式 ......................................................................................................................... 1 (二)解三阶行列式 ......................................................................................................................... 1 二、n阶行列式的概念及其解法.......................................................................................................... 2 （一）逆序数 ..................................................................................................................................... 2 （二）n阶行列式的定义 ................................................................................................................. 2 （三）n阶行列式的性质 ................................................................................................................. 3 三、n阶行列式的解法 ......................................................................................................................... 4 （一）定义法求解行列式 ................................................................................................................. 4 （二）化三角形法求解行列式 ......................................................................................................... 5 （三）利用初等变换求解行列式 ..................................................................................................... 5 （四）将行列式按行或按列展开求解行列式 ................................................................................. 6 （五）加边法或升阶法 ..................................................................................................................... 8 （六）拉普拉斯（Laplace）定理 ................................................................................................. 8 （七）范德蒙德（Vandermonde）行列式 .................................................................................. 11 参考文献 ........................................................................................................................................... 14
行列式的若干种计算方法
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中.十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式.十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究.十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善.矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和向量组的行列式的定义.无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中（比如说换元积分法中）,行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用.
一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法
(一)解二阶行列式
对二元线性方程组
??a1x?b1y?d1?a2x?b2y?d 2进行消元可得
(a1b2?b1a2)x?d1b2?b1d2, (a1b2?b1a2)y?a1d2?d1a2.
若a1b2?b1a2?0则方程组有唯一解
???x?d1b2?b1d2?a1b2?b1a2?ad?da , ?y?1212?a1b2?b1a2为了便于记忆这些解的公式我们引入二阶行列式[1]
a11a12a?a11a22?a12a2121a22
其中aij叫做行列式的元素,那么利用二阶行列式方程组的解可表示为
d1b1a1d1x?d2b2a2d2a,y?1b1a1b1 a2b2a2b2.
例1.1 计算二阶行列式
3a1b1a25b?3a1?5b2?b1a2?15a1b2?b1a22.
(二)解三阶行列式
1