发布时间 : 星期日 文章2016年全国高考数学专题14利用空间向量求解立体几何中的角和距离更新完毕开始阅读7f547b9f3086bceb19e8b8f67c1cfad6195fe98a
解法二：取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O?xyz．不妨设AD?1，则AB?2，所以B(0,1,0)，C(1,1,0)，
D(1,?1,0)，P(0,0,2)，从而PC?(1,1,?2)，CD?(0,?2,0).
设平面PCD的法向量为n1?(x1,y1,z1)，
???PC?n1?0?x?y1?2z1?0由?，得，?1
????2y1?0?CD?n1?0可取n1?(2,0,1)．
同理，可取平面PCB的一个法向量为n2?(0,?2,?1)． 于是cos?n1,n2??n1?n21??，
|n1|?|n2|31． 3所以二面角D?PC?B的余弦值为?
【考点】本题主要考查：1.线面垂直的判定；2.二面角的求解.
【名师点睛】注意空间直线与直线的垂直关系与直线与平面垂直的转化，利用空间向量求空间角时，尽可能建立易于确定点的坐标的坐标系，若点的坐标不确定，可引入 参数设点． 【母题10】．如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?底面ABCD，
PA?AB?2，点E是棱PB的中点.
（1）证明：AE?平面PBC；
（2）若AD?1，求二面角B?EC?D的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）?3. 3
（2）解：设平面BEC的法向量为n1，由（Ⅰ）知，
?22?AE⊥平面BEC，故可取n1?EA???0，???2，?． 2??设平面DEC的法向量n2?(x2，y2，z2)，则n2?DC?0，n2?DE?0． 由|AD|?1，得D(010)，，，C(210)，，，
?x2?0，22?从而DC?(2， 0，，0)DE?(，?1，)，故?2222x2?y2?z2?0.??22所以x2?0，z2?2y2，可取y2?1，则n2?(01，，2)．
从而cos?n1，n2??n1?n13． ??|n1|?|n2|33． 3所以二面角B?EC?D的平面角的余弦值为? z P E A D y C B x
【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的求解.
【名师点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，利用空间向量求二面角，通过建立空间直角坐标系，用坐标表示点，用法向量表示平面，通过求法向量夹角来确定二面角大小．